Question

7．如图，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DF⊥BE，垂足是F，求证：BF=EF．

Answer 1

分析 要证F是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质即可得证．

解答 证明：∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DF⊥BE，
∴F是BE的中点，
∴BF=EF．

点评 本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．