Question

18．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AC上点，且CE=CB，F为BE上点，M为BC上点，且MF⊥BE，并与OB相交于点N．
（1）求证：△BOE∽△MFB；
（2）若BD=$\frac{2}{3}$AC，BF=a，求MN的长．（结果用a表示）

Answer 1

分析 （1）由菱形性质得AC⊥BD，由已知得出∠CEB=∠CBE，由MF⊥BE，得出∠BOE=∠BFM，即可得出结论；
（2）作MP∥AC于BE交于点P，与OB交于点Q，由△BOE∽△MFB，得出∠EBO=∠FMB，证出tan∠OCB=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{2}{3}$，由平行线的性质得出∠MPB=∠CEB=∠CBE，∠MQN=90°，$\frac{BQ}{MQ}$=$\frac{OB}{OC}$，证出△MBP为等腰三角形，由等腰三角形的三线合一性质得出BF=FP，∠PMF=∠BMF=∠PBQ，证得△PBQ∽△NMQ，由对应边成比例得出比例式即可求出结果．

解答 （1）证明：∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD，
∴∠BOE=90°，
∵CE=CB，
∴∠CEB=∠CBE，
∵MF⊥BE，
∴∠BFM=90°，
∴∠BOE=∠BFM，
∴△BOE∽△MFB；
（2）解：作MP∥AC与BE交于点P，与OB交于点Q，如图所示：
由△BOE∽△MFB，
∴∠EBO=∠FMB，
∵BD=$\frac{2}{3}$AC，
∴OB=$\frac{2}{3}$OC，
∴tan∠OCB=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{2}{3}$，
∵MP∥AC，
∴∠MPB=∠CEB=∠CBE，∠MQN=90°，$\frac{BQ}{MQ}$=$\frac{OB}{OC}$，
∴△MBP为等腰三角形，
∵MF⊥BE，
∴BF=FP，∠PMF=∠BMF=∠PBQ，
∵∠MQN=∠BQP=90°，
∴△PBQ∽△NMQ，
∴$\frac{BP}{MN}$=$\frac{BQ}{MQ}$=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{2}{3}$，
∴MN=$\frac{3}{2}$BP=$\frac{3}{2}$×2BF=3BF=3a．

点评 本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；特别是（2）需作辅助线，利用平行线的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．