Question

17．如图1，直线l₁：y=-2x+m（m＞0）与x轴，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△COD，过点A，B，D作抛物线．
（1）若m=4，求抛物线的解析式；
（2）如图2，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与CD相交于点E，点Q在抛物线对称轴上，点F在直线l₁上，当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出A（2，0）、B（0，4）、D（-4，0）坐标，设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），把（0，4）代入求出a即可解决问题．
（2）如图2中，分两种情形①过B平行于CD的直线交对称轴于Q₁，此时四边形ECBQ₁是平行四边形．②直线AB与对称轴的交点M（-1，6），Q₁关于M的对称点Q₂（-1.$\frac{17}{2}$），作Q₂F₂∥EC交直线AB于F₂，易知四边形ECQ₂F₂是平行四边形，分别求出点Q坐标即可．

解答 解：（1）如图1中，

m=4时，直线l₁的解析式为y=-2x+4，
令x=0则y=4，令y=0则x=2，
∴A（2，0），B（0，4），
∵△DOC是由△AOB旋转得到，
∴OC=OA=2，OD=OB=4，
∴D（-4，0），C（0，2）
设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），把（0，4）代入得到a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4．

（2）如图2中，

y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$，
∴对称轴为x=1，
设直线CD解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∴E（-1，$\frac{3}{2}$），
①过B平行于CD的直线交对称轴于Q₁，此时四边形ECBQ₁是平行四边形．
∵直线CD解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，B（0，4），
∴直线BQ₁解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4，
∴Q₁（-1，$\frac{7}{2}$），
②直线AB与对称轴的交点M（-1，6），Q₁关于M的对称点Q₂（-1.$\frac{17}{2}$），
作Q₂F₂∥EC交直线AB于F₂，易知四边形ECQ₂F₂是平行四边形，
综上所述，当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，点Q的坐标（-1，$\frac{7}{2}$）或（-1，$\frac{17}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解．属于中考压轴题．