Question

2．已知一元二次方程x²+（a²-9）x+a²-5a+6=0一个根小于0，另一根大于2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 利用二次函数的图象解决问题：利用方程根的情况得到二次函数y=x²+（a²-9）x+a²-5a+6=0与x轴的交点一个在原点左侧，另一个在点（2，0）右侧，则当x=0时，y＜0，即a²-5a+6＜0；当x=2时，y＜0，即4+2a²-18+a²-5a+6＜0，然后分别解两个不等式则可确定a的取值范围．

解答 解：∵一元二次方程x²+（a²-9）x+a²-5a+6=0一个根小于0，另一根大于2，
∴二次函数y=x²+（a²-9）x+a²-5a+6=0与x轴的交点一个在原点左侧，另一个在点（2，0）右侧，
∴当x=0时，y＜0，即a²-5a+6＜0，解得2＜a＜3，
当x=2时，y＜0，即4+2a²-18+a²-5a+6＜0，解得-1＜a＜$\frac{8}{3}$，
∴a的取值范围为2＜a＜$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：解决本题的关键是把一元二次方程根的大小转化为抛物线与x轴的交点位置，然后利用函数值的正负确定关于a的不等式．