Question

14．如图，A、B、C是⊙O上三个点，连接AB、AC、BC，延长CB至D，连接AD、BO，且∠D=∠ABO．
（1）求证：AD⊥AC；
（2）如图2，连接CO并延长交AB于E，连接BO并延长交⊙O于F，连接DF分别交CE，AB于M、N，若EM=EN，求证：DF平分∠ADC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF，∠BCF=90°，DF交AC于G，过F作FH⊥AC于H，若CH=2，AD=4，求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长BO交⊙O于E，连接CE，作BH⊥AD于H．只要证明∠CAB=∠ABH，推出AC∥BH，即可证明．
（2）由EM=EN，推出∠EMN=∠ENM，推出∠EMN=∠1+∠2，∠ENM=∠3+∠4，只要证明∠1=∠3即可解决问题．
（3）如图3中，作FK⊥DA交DA的延长线于K．首先证明四边形AHFK是矩形，再证明FC=KF=AH，设FC=FK=AH=a，由△CHF∽△DAC，得$\frac{CF}{CD}$=$\frac{FH}{AC}$=$\frac{CH}{DA}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，得到CD=2a，再利用勾股定理，列出方程求出a即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，延长BO交⊙O于E，连接CE，作BH⊥AD于H．

∵∠ABC=∠BAD+∠D=∠CBO+∠ABO，∠ABO=∠D，
∴∠BAH=∠CBO，
∵BE是直径，
∴∠BCE=90°，
∵BH⊥AD，
∴∠BHA=90°，
∴∠E+∠CBO=90°，∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠E=∠ABH，
∵∠E=∠CAB，
∴∠CAB=∠ABH，
∴AC∥BH，∵BH⊥AD，
∴AC⊥AD．

（2）如图2中，

∵OC=OB，
∴∠1=∠5，
∵∠3=∠5（由（1）可知），
∴∠3=∠1，
∵EM=EN，
∴∠EMN=∠ENM，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠ENM=∠3+∠4，
∴∠2=∠4，
∴DF平分∠ADC．

（3）如图3中，作FK⊥DA交DA的延长线于K．

∵∠K=∠FHA=∠KAH=90°，
∴四边形AHFK是矩形，
∴FK=AH，AK=FH，
∵∠2=∠4，FC⊥CD，FK⊥DK，
∴FC=KF=AH，设FC=FK=AH=a，
∵∠ACF=∠ABF，∠ABF=∠ADC，
∴∠ACF=∠ADC，
∵∠CHF=∠CAD=90°，
∴△CHF∽△DAC，
∴$\frac{CF}{CD}$=$\frac{FH}{AC}$=$\frac{CH}{DA}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=2a，
∵AC²+AD²=CD²，
∴（2+a）²+4²=（2a）²，
解得a=$\frac{10}{3}$或-2（舍弃），
∴AC=CH+AH=2+$\frac{10}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$•AD•AC=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$×4═$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查圆综合题、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、相似三角形、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形，学会利用相似三角形的性质构建方程，属于中考压轴题．