Question

如图，过⊙O上一点A的切线AC与⊙O直径BD的延长线交于点C，过A作AE⊥BC于点E．
（1）求证：∠CAE=2∠B；
（2）已知：AC=8，且CD=4，求⊙O的半径及线段AE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OA，由切线的性质知：OA⊥AC，即∠OAC=90°，在Rt△OAC中，易证得∠CAE=∠AOE；而∠AOE是等腰△AOB的外角，即∠AOE=2∠B，等量代换后即可得出要证的结论；
（2）由切割线定理，易求得CB的长；即可求出BD和半径的长，Rt△CAO中，OA、OC的长已知，由勾股定理可求得AC的长，然后根据直角三角形面积的不同表示方程，即可求出AE的值．

解答：（1）证明：连接OA，
∵CA切⊙O于点A，
∴∠OAC=90°，即：∠CAE+∠1=90°．
又AE⊥BC，
∴∠2+∠1=90°．
∴∠CAE=∠2．
又OA=OB，
∴∠3=∠B，
∴∠2=2∠B，
∴∠CAE=2∠B．

（2）∵AC是⊙O的切线，
∴CA²=CD•CB．
∴CB=

CA2

CD

=

82

4

=16．
∴⊙O的半径OB=

BC-CD

2

=6．
Rt△ACO中，CO=CD+DO=10，OA=6，
由勾股定理，得：AC=

OC2-OA2

=8．
又S_△ACO=

1

2

AC•AO=

1

2

CO•AE．
∴AE=

AC×AO

CO

=

8×6

10

=4.8．

点评：本题主要考查了切线的性质及切割线定理，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．