Question

3．已知A（0，8），B（6，0），在坐标轴上取一点P，使三角形ABP为等腰三角形，求P点的坐标．

Answer 1

分析 由于没有说明三角形ABP的腰与底，故需要分三种情况进行讨论，AP=BP，AB=BP，AB=AP．

解答 解：∵A（0，8），B（6，0），
∴由勾股定理可知：AB=10，
∴OA=8，OB=6，
当AP=BP时，
作线段AB的垂直平分线，交x轴于点C，交y轴于点P，
设AC=x，
∴OC=8-x，BC=x，
在Rt△BOC中，
由勾股定理可知：x²=6²+（8-x）²，
∴x=$\frac{25}{4}$
∴OC=$\frac{7}{4}$
∵∠CPO=∠BAO，
∴tan∠CPO=tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{OC}{OP}=\frac{3}{4}$
∴OP=$\frac{7}{3}$
∴P（0，-$\frac{7}{3}$）
当BP=AB时，
以点B为圆心，AB为半径作⊙B，交y轴于点P，
当P在x轴上方时，
此时OP=OB+BP=6+10=16，
当P在x轴下方时，
此时OP=BP-OB=10-6=4，
∴P（0，4）或（0，16）
当AP=AB时，
以A为圆心，AB为半径作⊙A，交y轴于点P，
此时点B与P关于x轴对称，
∴P（0，-6）
综上所述，P的坐标为：（0，-$\frac{7}{3}$），（0，4），（0，16），（0，-6）

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定与坐标与图形的性质，解题的关键根据等腰三角形的性质作出图形，本题属于中等题型．