Question

【题目】综合与实践

（1）（探索发现）在中. ，，点为直线上一动点（点不与点，重合），过点作交直线于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．

如图（1），当点在线段上，且时，试猜想：

①与之间的数量关系：______；

②______．

（2）（拓展探究）

如图（2），当点在线段上，且时，判断与之间的数量关系及的度数，请说明理由．

（3）（解决问题）

如图（3），在中，，，，点在射线上，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2），．理由见解析；（3）的长为1或2．

【解析】

（1）由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解决问题；

（2）结论：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解决问题；

（3）分当点D在线段BC上和当点D在BC的延长线上两种情形讨论，利用平行线分线段成比例可求解．

解：

（1）如图1中，设AB交DE于O．

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=45°，

∵DF∥AC，

∴∠FDB=∠C=90°，

∴∠DFB=∠DBF=45°，

∴DF=DB，

∵∠ADE=∠FDB=90°，

∴∠ADF=∠EDB，且DA=DE，DF=DB

∴△ADF≌△EDB（SAS），

∴AF=BE，∠DAF=∠E，

∵∠AOD=∠EOB，

∴∠ABE=∠ADO=90°

故答案为AF=BE，90°．

（2），.

理由：∵，

∴，.

∵，

∴.∴.

∴

∵，，，

∴.

又∵，

∴.

∴，.

∴，，

∴.

（3）1或2.

解：当点在线段上时，过点作交直线于点，如图（1）.

∵，∴.

∵，∴.

∵，∴，.

∵，，

∴.

∵，∴.∴.∴.

又，∴，.

当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点，如图（2）.

∵，

∴.

∴.

∴.

同理可得.

综上可得，的长为1或2.