Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（-1，0）、B（3，0）．现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C、D，连接AC，BD．

（1）直接写出点C、D的坐标，求四边形ABDC的面积S_{四边形ABDC}；
（2）在坐标轴上是否存在一点P，使S_△PAC=

1

4

S_{四边形ABDC}？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）如图3，在线段CO上取一点G，使OG=3CG，在线段OB上取一点F，使OF=2BF，CF与BG交于点H，求四边形OGHF的面积S_{四边形OGHF}．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,三角形的面积,坐标与图形变化-平移

专题：

分析：（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
（2）分点P在x轴上时求出AP的长度，然后分两种情况写出点P的坐标；点P在y轴上时，求出CP的长，然后分两种情况写出点P的坐标；
（3）求出点G、F的坐标，然后利用待定系数法求出直线CF、BG的解析式，联立求出点H的坐标，再根据S_{四边形OGHF}=S_△OBG-S_△HBF列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵点A（-1，0），B（3，0）分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴点C、D的坐标分别为（0，2），（4，2），
S_{四边形ABDC}=4×2=8；

（2）点P在x轴上时，∵S_△PAC=

1

4

S_{四边形ABDC}，
∴

1

2

AP×2=

1

4

×8，
解得AP=2，
当点P在点A的左边时，-1-2=-3，
点P的坐标为（-3，0），
点P在点A的右边时，-1+2=1，
点P的坐标为（1，0）；
点P在y轴上时，∵S_△PAC=

1

4

S_{四边形ABDC}，
∴

1

2

CP×1=

1

4

×8，
解得CP=4，
点P在点C的上方时，2+4=6，
点P的坐标为（0，6），
点P在点C的下方时，2-4=-2，
点P的坐标为（0，-2），
综上所述，点P的坐标为（-3，0）或（1，0）或（0，6）或（0，-2）；

（3）∵OG=3CG，
∴OG=

3

1+3

×2=

3

2

，
∴点G的坐标为（0，

3

2

），
∵OF=2BF，
∴OF=

2

1+2

×3=2，
∴点F的坐标为（2，0），
易求直线CF的解析式为y=-x+2，
直线BG的解析式为y=-

1

2

x+

3

2

，
联立

y=-x+2 y=- 1 2 x+ 3 2

，
解得

x=1 y=1

，
∴点H的坐标为（1，1），
∴S_{四边形OGHF}=S_△OBG-S_△HBF，
=

1

2

×3×

3

2

-

1

2

×（3-2）×1，
=

9

4

-

1

2

，
=

7

4

．

点评：本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，坐标与图形变化-平移，难点在于（2）分情况讨论，（3）求出点H的坐标．