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如图所示,AC与⊙O相切于点C,线段AO交⊙O于点B.过点B作BD∥AC交⊙O于点D,连接CD、精英家教网OC,且OC交DB于点E.若∠CDB=30°,DB=5
3
cm.
(1)求⊙O的半径长;
(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
分析:(1)根据切线的性质定理和平行线的性质定理得到OC⊥BD,根据垂径定理得到BE的长,再根据圆周角定理发现∠BOE=60°,从而根据锐角三角函数求得圆的半径;
(2)结合(1)中的有关结论证明△DCE≌△BOE,则它们的面积相等,故阴影部分的面积就是扇形OBC的面积.
解答:解:(1)∵AC与⊙O相切于点C,
∴∠ACO=90°
∵BD∥AC∴∠BEO=∠ACO=90°,
∴DE=EB=
1
2
BD=
5
3
2
(cm)
∵∠D=30°,
∴∠O=2∠D=60°,
在Rt△BEO中,sin60°=
BE
OB
3
2
=
5
3
2
OB

∴OB=5,即⊙O的半径长为5cm.

(2)由(1)可知,∠O=60°,∠BEO=90°,
∴∠EBO=∠D=30°
又∵∠CED=∠BEO,BE=ED,
∴△CDE≌△OBE
S=S扇OBC=
60
360
π•52=
25π
6
(cm2)

答:阴影部分的面积为
25π
6
cm2
点评:本题主要考查切线的性质定理、平行线的性质定理、垂径定理以及全等三角形的判定方法.能够熟练解直角三角形.
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