【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若点F是OA的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;
(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)当PE+PF取最小值时,BP的长为.
【解析】
(1)作OH⊥AC于H,如图,利用等腰三角形的性质得AO平分∠BAC,再根据角平分线性质得OH=OE,然后根据切线的判定定理得到结论;
(2)先确定∠OAE=30°,∠AOE=60°,再计算出AE=3,然后根据扇形面积公式,利用图中阴影部分的面积=S△AOE-S扇形EOF进行计算;
(3)作F点关于BC的对称点F′,连接EF′交BC于P,如图,利用两点之间线段最短得到此时EP+FP最小,通过证明∠F′=∠EAF′得到PE+PF最小值为3,然后计算出OP和OB得到此时PB的长.
(1)证明:作OH⊥AC于H,如图,
∵AB=AC,AO⊥BC于点O,
∴AO平分∠BAC,
∵OE⊥AB,OH⊥AC,
∴OH=OE,
∴AC是⊙O的切线;
(2)∵点F是AO的中点,
∴AO=2OF=6,
而OE=3,
∴∠OAE=30°,∠AOE=60°,
∴AE=OE=3,
∴图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S扇形EOF=×3×3﹣;
(3)作F点关于BC的对称点F′,连接EF′交BC于P,如图,
∵PF=PF′,
∴PE+PF=PE+PF′=EF′,此时EP+FP最小,
∵OF′=OF=OE,
∴∠F′=∠OEF′,
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°,
∴∠F′=30°,
∴∠F′=∠EAF′,
∴EF′=EA=3,
即PE+PF最小值为3,
在Rt△OPF′中,OP=OF′=,
在Rt△ABO中,OB=OA=×6=2,
∴BP=2﹣=,
即当PE+PF取最小值时,BP的长为.
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【题目】如图,已知A(3,m),B(﹣2,﹣3)是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点.
(1)求直线AB和反比例函数的解析式;
(2)观察图象,直接写出当x满足什么范围时,直线AB在双曲线的下方;
(3)反比例函数的图象上是否存在点C,使得△OBC的面积等于△OAB的面积?如果不存在,说明理由;如果存在,求出满足条件的所有点C的坐标.
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【题目】有一个圆形转盘,分黑色、白色两个区域.
(1)某人转动转盘,对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验,得到数据如下表:
实验次数(次) | 10 | 100 | 2000 | 5000 | 10000 | 50000 | 100000 |
白色区域次数(次) | 3 | 34 | 680 | 1600 | 3405 | 16500 | 33000 |
落在白色区域频率 | 0.3 | 0.34 | 0.34 | 0.32 | 0.34 | 0.33 | 0.33 |
请你利用上述实验,估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________.(精确到0.01);
(2)若该圆形转盘白色扇形的圆心角为120度,黑色扇形的圆心角为,转动转盘两次,求指针一次落在白色区域,另一次落在黑色区域的概率.
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【题目】将一张正方形纸片按如图步骤,通过折叠得到图④,再沿虚线剪去一个角,展开铺平后得到图⑤,其中是折痕.若正方形与五边形的面积相等,则的值是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点,点D在OB上,点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时,阴影部分的面积为________
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【题目】已知抛物线y=x2+(2m﹣1)x﹣2m(m>0.5)的最低点的纵坐标为﹣4.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,D为抛物线上的一点,BD平分四边形ABCD的面积,求点D的坐标;
(3)如图2,平移抛物线y=x2+(2m﹣1)x﹣2m,使其顶点为坐标原点,直线y=﹣2上有一动点P,过点P作两条直线,分别与抛物线有唯一的公共点E、F(直线PE、PF不与y轴平行),求证:直线EF恒过某一定点.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=10,AC=16,点M是对角线AC上的一个动点,过点M作PQ⊥AC交AB于点P,交AD于点Q,将△APQ沿PQ折叠,点A落在点E处,当△BCE是等腰三角形时,AP的长为_____.
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和C(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1,下列结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac﹣b2<8a;④;⑤b<c.其中含所有正确结论的选项是_____.
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