如图，直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴、x轴分别交于点A、B，两动点D、E分别从A、B同时出发向点O运动（运动到O点停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和$\sqrt{3}$个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为G点，与AB相交于点F．分析 （1）在直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；
（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；
（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到$\frac{AF}{AG}=\frac{AG}{AB}$，可判定△AFG与△AGB相似；
（4）先得出∠DAF=60°，再分两种情况用∠DAF的正切值建立方程求解即可得出结论．
解答 解：（1）在直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$中，
令y=0，可得0=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，解得x=2，
令x=0，可得y=2$\sqrt{3}$，
∴A为（2，0），B为（0，2$\sqrt{3}$）；
（2）由（1）可知OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°，
∵运动时间为t秒，
∴BE=$\sqrt{3}$t，
∵EF∥x轴，
∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=t，BF=2EF=2t，
在Rt△ABO中，OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4，
∴AF=4-2t；
（3）相似．理由如下：
当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，
即t=4-2t，解得t=$\frac{4}{3}$，
∴AF=4-2t=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，OE=OB-BE=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，
则四边形OEGH为矩形，
∴GH=OE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，
∴OA=AH=2，
在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+{2}^{2}$=$\frac{16}{3}$，
又AF•AB=$\frac{4}{3}$×4=$\frac{16}{3}$，
∴AF•AB=AG2，
即$\frac{AF}{AG}=\frac{AG}{AB}$，且∠FAG=∠GAB，
∴△AFG∽△AGB．
（4）存在，
理由：∵A（2，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，
由运动知，BE=$\sqrt{3}$t，AD=t，OE=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴F（t，2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t），D（2-t，0），E（0，$\sqrt{3}$t）
∵A（2，0），
∴DF=$\sqrt{（2-t-t）^{2}+（2\sqrt{3}-\sqrt{3}t）^{2}}$=$\sqrt{7{t}^{2}-20t+16}$，AF=$\sqrt{（t-2）^{2}+（2\sqrt{3}-\sqrt{3}t）^{2}}$=$\sqrt{4{t}^{2}-16t+16}$
在Rt△AOB中，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DAF=60°，
∵△ADF为直角三角形，
∴①当∠ADF=90°时，
在Rt△ADF中，tan∠DAF=$\frac{DF}{AD}$=$\frac{OE}{AD}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{t}$=$\sqrt{3}$，
∴t=1，
∴E（0，$\sqrt{3}$），
将此点E的坐标代入抛物线的解析式为y=a（x-2）2，
得，$\sqrt{3}$=4a，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-2）2，
②当∠AFD=90°时，
在Rt△ADF中，tan∠DAF=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{\sqrt{7{t}^{2}-20t+16}}{\sqrt{4{t}^{2}-16t+16}}$=$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{8}{5}$或t=4（舍），
∴E（0，$\frac{8\sqrt{3}}{5}$），
将此点E的坐标代入抛物线的解析式为y=a（x-2）2，
得，$\frac{8}{5}$$\sqrt{3}$=4a，
∴a=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$（x-2）2，
即：满足条件的抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-2）2，或y=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$（x-2）2．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的对称性等．在（2）中求得∠ABO=30°是解题的关键，在（3）中求得t的值，表示出AG的长度是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，线段AC、BD交于点M，过B、D两点分别作AC的垂线段BF、DE，AB=CD查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，G为BC的中点，且DG⊥BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD交⊙O交于点E，连接BE，CE．查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com
如图△ABC的三个顶点在网格中格点上，求sinA=$\frac{3}{5}$．