Question

13．已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1，-4），与x轴两交点的坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），且x₁²+x₂²=10，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-1）²+4，化为一般式为y=ax²-2ax+a+4=0，再利用根与系数的关系得到x₁+x₂=2，x₁•x₂=$\frac{a+4}{a}$，接着根据完全平方公式把x₁²+x₂²=10变形为（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10，所以4-2•$\frac{a+4}{a}$=10，然后解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式为．

解答 解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，
即y=ax²-2ax+a+4=0，
∵方程ax²-2ax+a+4=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=$\frac{a+4}{a}$，
∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10，
∴4-2•$\frac{a+4}{a}$=10，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了根与系数的关系．