Question

如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，BD为角平分线，延长BC到E，使CE=CD，作DH⊥BE，垂足为H．
（1）求证：H为BE的中点；
（2）探究∠A为多少度时，AD=HC？

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用AB=AC得出∠ABC=∠4，再由∠1=∠2，∠3=∠E，得出∠2=∠E，证得△DBE为等腰三角形解决问题；
（2）如果∠A=90°，利用角平分线的性质得出AD=DH，进一步证得△ABC、△DHC是等腰直角三角形，整理得出结论即可．

解答：（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠4
∵BD平分∠ABC
∴∠1=∠2
∵CE=CD
∴∠3=∠E
∴∠2=∠E
∴△BDE为等腰三角形，BD=ED
∵DH垂直于BE
∴H为BE中点（三线合一）
（2）当∠A=90°时，AD=HC．
证明：∵BD为角平分线，DH⊥BE，∠A=90°，
∴AD=DH，
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠DCH=45°，
∵∠DHC=90°，
∴△DHC是等腰直角三角形，
∴DH=HC，
∴AD=HC．

点评：此题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识点．