Question

【题目】如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．

（3）联接BC交x轴于点F．y轴上是否存在点P，使得△POC与△BOF相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2+2x;(2) （1，3）;(3) （0，﹣ ）或（0，﹣4）．

【解析】试题分析：（1）将点A、点B和原点代入解析式进行求解；（2）根据平行四边形的性质得出点D的坐标；（3）首先求出OB、OF、OC的长度，然后根据三角形相似的条件求出点P的坐标，分两种情况进行讨论.

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：，

所以函数解析式为：y=x2+2x；

（2）∵AO为平行四边形的一边， ∴DE∥AO，DE=AO， ∵A（﹣2，0），

∴DE=AO=2， ∵四边形AODE是平行四边形， ∴D在对称轴直线x=﹣1右侧，

∴D横坐标为：﹣1+2=1，代入抛物线解析式得y=3， ∴D的坐标为（1，3）；

（3）在y轴上存在点P，使得△POC与△BOF相似，理由如下：

由y=x2+2x，顶点C的坐标为（﹣1，1） ∵tan∠BOF=，

∴∠BOF=45°， 当点P在y轴的负半轴时，tan∠COP=，

∴∠COP=45°，∴∠BOF=∠COP， 设BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵图象经过B（﹣3，3），C（﹣1，1）

∴， 解得∴，

∴y=﹣2x﹣3； 令y=0，则x=﹣1.5．

∴F（﹣1.5，0），

∴OB=3，OF=1.5，OC=，

①当△POC∽△FOB时， 则，

即， ∴OP=， ∴P（0，﹣）

②当△POC∽△BOF时， ∴，

∴OP=4， ∴P（0，﹣4），

∴当△POC与△BOF相似时，点P的坐标为（0，﹣）或（0，﹣4）．