Question

如图所示，在平面直角坐标系中有点A（-1，0）、点B（4，0），以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D，使四边形BOCD为直角梯形，求直线BD的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接根据相交弦定理得出OC²=OA•OB，即可求出OC的长，即可得出C点坐标；
（2）根据A，B，C坐标直接求出抛物线的解析式即可；
（3）首先过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形，设点D的坐标是（x，2）代入抛物线解析式求出D点坐标，进而得出直线BD的解析式即可．

解答：解：（1）如图，连结AC，CB．    
依相交弦定理的推论可得：OC²=OA•OB，
即OC²=1×4=4，
解得：OC=2或-2（负数舍去），
故C点的坐标为（0，2）；

（2）解法一：设抛物线解析式是y=ax²+bx+c（a≠0）．
把A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点坐标代入上式得：

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解之得：

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
故抛物线解析式是y=-

1

2

x2+

3

2

x+2．
解法二：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把点C（0，2）的坐标代入上式得：
a=-

1

2

．
故抛物线解析式是y=-

1

2

x2+

3

2

x+2．

（3）解法一：如图，过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形．
设点D的坐标是（x，2）代入抛物线解析式整理得：
x²-3x=0，
解之得x₁=0，x₂=3．
∴故点D的坐标为（3，2）
设过点B、点D的解析式为：y=kx+b，
把点B（4，0），点D（3，2）的坐标代入上式得：
 

4k+b=0 3k+b=2

解之得：

k=-2 b=8

，
故直线BD的解析式为y=-2x+8，
解法二：如图，过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形．
由（2）知抛物线的对称轴是x=

3

2

，
故过D的坐标为（3，2），
设过点B、点D的解析式为：y=kx+b，
把点B（4，0），点D（3，2）的坐标代入上式得：

4k+b=0 3k+b=2

解之得：

k=-2 b=8

，
故直线BD的解析式为y=-2x+8，

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式和直角梯形的性质等知识，根据已知得出D点坐标是解题关键．