Question

（1998•江西）如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，AB在x轴上，点C在第一象限，AC交y轴于点D，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求B、C、D三点的坐标；
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过B、C、D三点，求它的解析式；
（3）过点D作DE∥AB交经过B、C、D三点的抛物线于点E，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）首先根据AB=4，以及A的坐标即可求得OB的长，则B的坐标即可求得，C一定在AB的中垂线上，则横坐标可以求得，纵坐标是△ABC的高，据此即可求得；利用待定系数法求得AC的解析式，从而求得D的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）在二次函数的解析式中，把D的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得E的横坐标，求得DE的长．

解答：解：（1）OB=AB-OA=4-1=3，则B的坐标是（3，0）；
C点的横坐标是：

1

2

（-1+3）=1，三角形的高是：4×

3

2

=2

3

，
则C的坐标是：（1，2

3

）；
设直线AC的解析式是：y=kx+b，根据题意得：

-k+b=0 k+b=2 3

，
解得：

k= 3 b= 3

，
则直线的解析式是：y=

3

x+

3

，
令x=0，解得：y=

3

，
则D的坐标是：（0，

3

）；

（2）根据题意得：

9a+3b+c=0 a+b+c=2 3 c= 3

，
解得：

a=- 2 3 3 b= 5 3 3 c= 3

，
则函数的解析式是：y=-

2 3

3

x²+

5 3

3

x+

3

；

（3）在：y=-

2 3

3

x²+

5 3

3

x+

3

中，令y=

3

，
得到-

2 3

3

x²+

5 3

3

x+

3

=

3

，
解得：x=0或

5

2

．
故DE=

5

2

．

点评：本题考查了等边三角形的性质，以及待定系数法求函数的解析式，正确求得B、C、D三点的坐标是关键．