练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：如图，在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．
    （1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
    （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
    考点：相似形综合题
    专题：
    分析：（1）由于点Q从点O运动到点C需要
    2
    		3
    3
    秒，点P从点A→O→B需要
    4
    3
    秒，所以分两种情况讨论：①0＜t＜
    2
    3
    ；②
    2
    3
    ≤t＜
    2
    		3
    3
    ，针对每一种情况，根据P点所在的位置，由三角形的面积公式得出△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并且得出自变量t的取值范围；
    （2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果．
    解答：解：（1）过点C作CD⊥OA于点D（如图1）
    ∵OC=AC，∠ACO=120°，
    ∴∠AOC=∠OAC=30°．
    ∵OC=AC，CD⊥OA，
    ∴OD=DA=1．
    在Rt△ODC中，OC=
    OD
    cos30°
    =
    1
    cos30°
    =
    2
    		3
    3

    ①当0＜t＜
    2
    3
    时，OQ=t，AP=3t，OP=OA-AP=2-3t．
    过点Q作QE⊥OA于点E．（如图1）
    在Rt△OEQ中
    ∵∠AOC=30°，
    ∴QE=
    1
    2
    OQ=
    t
    2
    ，
    ∴S△OPQ=
    1
    2
    OP•EQ=
    1
    2
    （2-3t）•
    t
    2
    =-
    3
    4
    t2+
    1
    2
    t，
    即S=-
    3
    4
    t2+
    1
    2
    t；
    ②当
    2
    3
    ＜t≤
    2
    		3
    3
    时（如图2）
    OQ=t，OP=3t-2．
    ∵∠BOA=60°，∠AOC=30°，
    ∴∠POQ=90°．
    ∴S△OPQ=
    1
    2
    OQ•OP=
    1
    2
    t•（3t-2）=
    3
    2
    t2-t，
    即S=
    3
    2
    t2-t；
    故当0＜t＜
    2
    3
    时，S=-
    3
    4
    t2+
    1
    2
    t；
    当
    2
    3
    ＜t≤
    2
    		3
    3
    时，S=
    3
    2
    t2-t；

    （2）如图3，若点D在OA上时，OC=OD，则OD=OC=
    2
    3
    		3
    ，
    D点的坐标为（
    2
    3
    		3
    ，0），
    如图4，若OD=CD时，
    ∵∠COD=30°，cos∠COD=
    DQ
    OD
    ，
    ∴cos30°=
    OQ
    OD
    ，
    ∴OD=
    OQ
    cos30°
    =
    1
    3
    		3
    		3
    2
    =
    2
    3
    ，
    ∴D点的坐标为（
    2
    3
    ，0）；
    如图5，当点D在BA上时，
    若OD=CD，则点D在OC的垂直平分线上，设OC的垂直平分线DQ与x轴交于点P，
    则∠APD=60°，OQ=CQ=
    		3
    3
    ，
    ∵∠DAP=60°，
    ∴△ADP是等边三角形，
    过点D作DM⊥PA于M，则PM=DM，
    ∵∠AOC=30°，
    ∴OP=
    OQ
    cos30°
    =
    		3
    3
    		3
    2
    =
    2
    3
    ，
    ∴AP=2-
    2
    3
    =
    4
    3
    ，
    ∴PM=
    2
    3
    ，
    ∴OM=
    4
    3
    ，DM=tan60°•PM=
    2
    3
    		3
    ，
    ∴D点的坐标为（
    4
    3
    ，
    2
    3
    		3
    ）；
    如图6，当点D在OB上时，
    若OD=OC，则OD=
    2
    3
    		3
    ，
    过点D作DM⊥OA于M，则OM=
    1
    2
    OD=
    1
    3
    		3
    ，DM=1，
    则D点的坐标为（
    		3
    3
    ，1）；
    综上所述；符合条件的点D的坐标是（
    		3
    3
    ，1）或（
    2
    		3
    3
    ，0）或（
    2
    3
    ，0）或（
    4
    3
    ，
    2
    		3
    3
    ）．
    点评：本题综合考查了相似形的综合，用到的知识点是等腰三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论时，做到不重复，不遗漏．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，则BD=
     
    ，∠BAE=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    若（2x+3）2和y+2的算术平方根互为相反数，求xy的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，c，∠α．
    求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，∠AOB=60°，∠AOC=90°，OB是∠AOD的平分线，求∠COD的度数．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    解方程：
    （1）4x-2=2x+3；
    （2）
    5x-7
    6
    +1=
    3x-1
    4
    ．
    （3）
    1-x
    2
    =
    4x-1
    3 
    -1．
    （4）
    x+1
    3
    -
    3x
    4
    =2．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    阅读下面的文字，解答问题：
    大家知道
    		2
    是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
    		2
    的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用
    		2
    -1来表示
    		2
    的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为
    		2
    的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵
    		4
    ＜
    		7
    ＜
    		9
    ，即2＜
    		7
    ＜3，
    ∴
    		7
    的整数部分为2，小数部分为（
    		7
    -2）．
    请解答：
    （1）如果
    		5
    的小数部分为a，
    		13
    的整数部分为b，求a+b的值；
    （2）已知：10+
    		3
    =x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x-y的相反数．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）(
    7
    9
    -
    5
    6
    +
    3
    4
    )×(-36)    ；  
    （2）-110-{
    13
    6
    -
    11
    12
    ×[9-(-3)2]+
    1
    2
    ÷(-3)}    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知抛物线y=x2-x+c，当-1＜x＜3时，抛物线与x轴有公共点，求c的取值范围．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案