Question

12．如图，点P（1，2），⊙P经过原点O，交y轴正半轴于点A，点B在⊙P上，∠BAO=45°，则点B的坐标是（3，1）或（-1，3）．

Answer 1

分析 作辅助线，先利用勾股定理求圆P的半径为$\sqrt{5}$，根据已知中的∠BAO=45°可知，两个满足条件的点B的连线就是圆P的直径，由此证明△B₁OG≌△B₂OH，设B₁（x，y），则OG=x，B₁G=y，从而列方程组可求出x、y的值，写出符合条件的点B的坐标．

解答 解：连接OP，过P作PE⊥x轴于E，
∵P（1，2），
∴OE=1，PE=2，
由勾股定理得：OP=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
过A作MN⊥y轴，分别作∠MAO、∠NAO的平分线交⊙P于B₁、B₂，
则∠B₁AO=45°，∠B₂AO=45°，
∴∠B₂AB₁=90°，
连接B₁B₂，则B₁B₂是⊙P的直径，即过点P，
∴B₁B₂=2$\sqrt{5}$，
∴∠B₂OB₁=90°，
∵∠OB₂B₁=∠B₁AO=45°，
∴△B₁B₂O是等腰直角三角形，
∴OB₁=OB₂=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{10}$，
过B₁作B₁G⊥x轴于G，过B₂作B₂H⊥y轴于H，
∴∠OGB₁=∠OHB₂=90°，
∵∠GOB₁+∠AOB₁=90°，∠B₂OH+∠AOB₁=90°，
∴∠GOB₁=∠B₂OH，
∴△B₁OG≌△B₂OH，
∴B₁G=B₂H，OG=OH，
设B₁（x，y），则OG=x，B₁G=y，
∵∠B₂AO=45°，
∴△AB₂H是等腰直角三角形，
∴B₂H=AH=B₁G=y，
∴AO=AH+OH=x+y=4，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=（\sqrt{10}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$   $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∵PB=$\sqrt{5}$，
∴x=1，y=3不符合题意，舍去，
∴B₁（3，1），B₂（-1，3），
则点B的坐标为（3，1）或（-1，3），
故答案为：（3，1）或（-1，3）．

点评 本题考查了圆周角定理、坐标与图形的性质，熟练掌握圆周角的相关定理是关键，注意确定满足条件的点B，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，从而解决问题．