Question

如图，二次函数y=ax²+bx（a＞0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
①求实数k的值；
②求二次函数y=ax²+bx（a＞0）的解析式；
③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式；
④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：①把A（1，4）代入即可；
②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，根据S=S_△ABQ-S_△AOH-S_△BNO-S_矩形ONQH，和cd=4，求出c=2，d=2，得到B（-2，-2），把A（1，4）和B（-2，-2）代入抛物线得出方程组，求出方程组得解即可；
③充分利用（-2，-2）这一坐标，由△DFE相似于△DBO求得EF的长（含m），再表示出F到x轴的距离，利用△EDB的面积减去△EDF的面积即可建立S与m的函数关系
④S=m（1+-m），当m=时，S最大，把m=代入即可求出s，从而得到E的坐标．
解答：解：①把A（1，4）代入得：k=xy=4，
答：实数k的值是4．

②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，
设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，
则：S=S_△ABQ-S_△AOH-S_△BNO-S_矩形ONQH，
即：3=（1+c）（4+d）-×1×4-cd-d×1，
cd=k=4，
解得：c=2，d=2，
∴B（-2，-2），
把A（1，4）和B（-2，-2）代入抛物线得：，
解得：，
∴y=x²+3x，
答：二次函数y=ax²+bx（a＞0）的解析式是y=x²+3x．
⑨把y=0代入y=x²+3x得：x²+3x=0，
解得：x₁=0，x₂=-3，
∴D（-3，0），
即OD=3，
∵B（-2，-2），
∴由勾股定理得：OB=2，
∵EF∥OB，
∴△DFE∽△DBO，
∴=，
∴=，
∴EF=2-m，
过F作FC⊥x轴于C，
根据相似三角形的对应高之比等于相似比得：=，
∴=，
FC=

S=S_△EDB-S_△EDF
=DE×BM-FC×DE，
即S=-m²+m，
∴S与m的函数关系S=-m²+m．

④S=-m²+m．
当m=时，S最大，是，
∴，
答：在③的基础上，S存在最大值，S的最大值是，此时E点的坐标是（-，0）．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，反比例函数的图象上点的坐标特征，解二元一次方程，三角形的面积，平行线的性质，勾股定理，函数的最值，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．