分析:(1)首先解一元二次方程,求出点A、点B的坐标,得到含有字母a的抛物线的交点式;然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积,最后得出结论;
(2)在Rt△ACD中,利用勾股定理,列出一元二次方程,求出未知系数a,得出抛物线的解析式.
解答:解:(1)解方程x
2+4x-5=0,得x=-5或x=1,
由于x
1<x
2,则有x
1=-5,x
2=1,∴A(-5,0),B(1,0).
抛物线的解析式为:y=a(x+5)(x-1)(a>0),
∴对称轴为直线x=-2,顶点D的坐标为(-2,-9a),
令x=0,得y=-5a,
∴C点的坐标为(0,-5a).
依题意画出图形,如右图所示,则OA=5,OB=1,AB=6,OC=5a,
过点D作DE⊥y轴于点E,则DE=2,OE=9a,CE=OE-OC=4a.
S
△ACD=S
梯形ADEO-S
△CDE-S
△AOC=
(DE+OA)•OE-
DE•CE-
OA•OC
=
(2+5)•9a-
×2×4a-
×5×5a
=15a,
而S
△ABC=
AB•OC=
×6×5a=15a,
∴S
△ABC:S
△ACD=15a:15a=1:1;
(2)如解答图,过点D作DE⊥y轴于E
在Rt△DCE中,由勾股定理得:CD
2=DE
2+CE
2=4+16a
2,
在Rt△AOC中,由勾股定理得:AC
2=OA
2+OC
2=25+25a
2,
设对称轴x=-2与x轴交于点F,则AF=3,
在Rt△ADF中,由勾股定理得:AD
2=AF
2+DF
2=9+81a
2.
∵∠ADC=90°,∴△ACD为直角三角形,
由勾股定理得:AD
2+CD
2=AC
2,
即(9+81a
2)+(4+16a
2)=25+25a
2,化简得:a
2=
,
∵a>0,
∴a=
,
∴抛物线的解析式为:y=
(x+5)(x-1)=
x
2+
x-
.
点评:本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点,难度不是很大,但涉及的计算较多,需要仔细认真,避免出错.注意第(1)问中求△ACD面积的方法.