Question

13．如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，且四边形EMON的面积为2，
（1）△ABE的面积是2．
（2）经过点B的双曲线的解析式为y=-$\frac{10}{x}$．

Answer 1

分析 （1）设A（0，2t），则C（-4t，0），B（-4t，2t），N（-2t，0），M（0，t），根据三角形面积公式得S_△ABM=S_△ANO=2t²，所以S_△ABE=S_{四边形EMON}=2；
（2）利用待定系数法求出直线BM的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+t，同理可得直线AN的解析式为y=x+2t，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}x+t}\\{y=x+2t}\end{array}\right.$得E（-$\frac{4}{5}$t，$\frac{6}{5}$t），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•4t•（2t-$\frac{6}{5}$t）=2，解得t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$或t=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$（舍去），所以B（-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），然后利用待定系数法求经过点B的双曲线的解析式．

解答 解：（1）设A（0，2t），则C（-4t，0），B（-4t，2t），
∵M，N分别为OA，OC的中点，
∴N（-2t，0），M（0，t），
∵S_△ABM=$\frac{1}{2}$•t•4t=2t²，S_△ANO=$\frac{1}{2}$•2t•2t=2t²，
∴S_△ABE=S_{四边形EMON}=2；
（2）设直线BM的解析式为y=kx+b，
把M（0，t）、B（-4t，2t）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=t}\\{-4t•k+b=2t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{4}}\\{b=t}\end{array}\right.$，
∴直线BM的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+t，
同理可得直线AN的解析式为y=x+2t，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}x+t}\\{y=x+2t}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}t}\\{y=\frac{6}{5}t}\end{array}\right.$，
∴E（-$\frac{4}{5}$t，$\frac{6}{5}$t），
∴$\frac{1}{2}$•4t•（2t-$\frac{6}{5}$t）=2，解得t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$或t=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$（舍去），
∴B（-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），
设经过点B的双曲线的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-2$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=-10，
∴经过点B的双曲线的解析式为y=-$\frac{10}{x}$．
故答案为2，y=-$\frac{10}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了三角形面积公式和待定系数法求函数解析式．