Question

19．（1）如图（1），在△ABC和△CDE中，已知AC⊥BC，EC⊥DC，且AC=CD，BC=CE，你能判断AB与ED的关系吗？
（2）若将△ABC沿CD方向平移得到图（2），请直接判断△ADE的形状，不需要说明理由；若此时EC₁=7，AC₂=3，你知道线段C₁C₂的长度吗？说明你的解题思路．
（3）应用上述方法与结论，按照图（3）中的数据，请你直接写出图（3）中实线所围成的图形面积．

Answer 1

分析 （1）由SAS证明△ABC≌△DEC，得出AB=ED，∠B=∠E；再由直角三角形的性质和对顶角相等证出∠E+∠EAM=90°，即可得出AB⊥ED；
（2）同（1）得：△ABC₂≌△DEC₁，由全等三角形的性质得出C₁D=AC₂=3，DC₂=EC₁=6，即可得出C₁C₂的长；
（3）作AF⊥l于F，DG⊥l于G，BH⊥l于H，由（1）（2）得：△ACF≌△CDG，△DGE≌△EHB，得出CF=DG=3，AF=CG=6，GE=BH=4，EH=DG=3，求出梯形ABHF的面积、△ACF的面积=△CDG的面积、△DEG的面积=△BEH的面积，即可得出实线所围成的图形面积．

解答 解：（1）能判断，AB=ED，AB⊥ED，理由如下：
∵AC⊥BC，EC⊥DC，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
在△ABC和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}&{\;}\\{∠ACB=∠DCE}&{\;}\\{BC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=ED，∠B=∠E；
延长BA交DE于M，如图1所示：
∵∠B+∠BAC=90°，∠EAM=∠BAC，
∴∠E+∠EAM=90°，
∴∠AME=90°，
∴AB⊥ED；
（2）知道线段C₁C₂的长度，线段C₁C₂=6，理由如下
同（1）得：△ABC₂≌△DEC₁，
∴C₁D=AC₂=3，DC₂=EC₁=6，
∴C₁C₂=3+6=9；
（3）作AF⊥l于F，DG⊥l于G，BH⊥l于H，如图所示：
由（1）（2）得：△ACF≌△CDG，△DGE≌△EHB，
∴CF=DG=3，AF=CG=6，GE=BH=4，EH=DG=3，
∴梯形ABHF的面积=$\frac{1}{2}$（6+4）×（3+6+4+3）=80，
△ACF的面积=△CDG的面积=$\frac{1}{2}$×6×3=9，△DEG的面积=△BEH的面积=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴实线所围成的图形面积=80-9-6=65．

点评 本题是三角形综合题目．考查了全等三角形的判定与性质、三角形和梯形面积的计算；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．