Question

如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到格点三角形A₁B₁C₁，格点三角形A₂B₂C₂，格点三角形A₃B₃C₃，则格点三角形A₃B₃C₃的面积为（　　）

A．19S

B．36S

C．37S

D．43S

Answer 1

分析：设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A₂B₂C₂三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A_nB_nC_n三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形AnBnCn不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形A_nB_nC_n面积公式，把n=3代入即可求出三角形A₃B₃C₃的面积．

解答：解：设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A₂B₂C₂三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A_nB_nC_n三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A_nB_nC_n不重合的部分为三个小三角形；而三角形A_nB_nC_n面积=边长为2n+1个单位的菱形面积-三个小三角形面积
=2S（2n+1）²-

(2n+1)×n×2S

2

-

(2n+1)×(n+1)×2S

2

-

n×(n+1)×2S

2

，
=S（8n²+8n+2-2n²-n-2n²-3n-1-n²-n），
=S（3n²+3n+1），
把n=3分别代入上式得：S₃=S（3×3²+3×3+1）=37S．
故选C．

点评：此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力．