Question

（2013•大庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB为垂直于底边的腰，AD=1，BC=2，AB=3，点E为CD上异于C，D的一个动点，过点E作AB的垂线，垂足为F，△ADE，△AEB，△BCE的面积分别为S₁，S₂，S₃．
（1）设AF=x，试用x表示S₁与S₃的乘积S₁S₃，并求S₁S₃的最大值；
（2）设

AF

FB

=t，试用t表示EF的长；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S22=4S₁S₃．

Answer 1

分析：（1）直接根据三角形的面积公式解答即可；
（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，根据

AF

FB

=t，可知AF=tFB，再由BM=MC=AD=1可得出

NE

MC

=

DN

DM

=

AF

AF+FB

=

tFB

tFB+FB

=

t

t+1

，所以NE=

t

t+1

，根据EF=FN+NE即可得出结论；
（3）根据AB=AF+FB=（t+1）FB=3，可得出FB=

3

t+1

，故可得出AF=tFB=

3t

t+1

，根据三角形的面积公式可用t表示出S₁，S₃，S₂，由s₂²=4S₁S₃．即可得出t的值．

解答：解：（1）∵S₁=

1

2

AD•AF=

1

2

x，
S₃=

1

2

BC•BF=

1

2

×2×（3-x）=3-x，
∴S₁S₃=

1

2

x（3-x）
=

1

2

（-x²+3x）
=

1

2

[-（x-

3

2

）²+

9

4

]
=-

1

2

（x-

3

2

）²+

9

8

（0＜x＜3），
∴当x=

3

2

时，S₁S₃的最大值为

9

8

；

（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，
∵

AF

FB

=t，
∴AF=tFB，
∵BM=MC=AD=1，
∴

NE

MC

=

DN

DM

=

AF

AF+FB

=

tFB

tFB+FB

=

t

t+1

，
∴NE=

t

t+1

，
∴EF=FN+NE=1+

t

t+1

=

2t+1

t+1

；

（3）∵AB=AF+FB=（t+1）FB=3，
∴FB=

3

t+1

，
∴AF=tFB=

3t

t+1

，
∴S₁=

1

2

AD•AF=

1

2

×

3t

t+1

=

3t

2(t+1)

，
S₃=

1

2

BC•FB=

1

2

×2×

3

t+1

=

3

t+1

；
S₂=

1

2

AB•FE=

1

2

×3×

2t+1

t+1

=

3(2t+1)

2(t+1)

，
∴S₁S₃=

9t

2(t+1)2

，S₂²=

9(2t+1)2

4(t+1)2

，
∴

9(2t+1)2

4(t+1)2

=4×

9t

2(t+1)2

，即4t²-4t+1=0，解得t=

1

2

．

点评：本题考查的是相似形综合题，熟知三角形的面积公式、二次函数的最值问题等相关知识是解答此题的关键．