Question

19．如图，已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC交于点F
（1）写出图中的相似三角形；
（2）求证：AE²=AF•AC．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出∠BAC=∠B=∠C=∠DAE=∠ADE=∠E=60°，得出△ABC∽△ADE，再证出∠BAD=∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE=∠DFC，∠E=∠C，证出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF=∠CAD，∠ADF=∠C，即可得出△ADF∽△ACD；
（2）由相似三角形得出对应边成比例，再由等边三角形的各边相等，即可得出结论．

解答 （1）解：图中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下：
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C=∠DAE=∠ADE=∠E=60°，
∴△ABC∽△ADE；
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠FAE，
∴△ABD∽△AEF；
∵∠AFE=∠DFC，∠E=∠C，
∴△AEF∽△DCF，
∴△ABD∽△DCF；
∵∠DAF=∠CAD，∠ADF=∠C，
∴△ADF∽△ACD；
（2）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B=∠E=60°，∠BAC=∠EAD=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AF}$，
∴AB•AF=AE•AD，
∴AC•AF=AE•AE，
∴AE²=AF•AC．

点评 本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．