已知:如图1.点O1在x轴的正半轴上.⊙O1与x轴交于C.D两点.半径为4的⊙O与x轴的负半轴交于G点．⊙O与⊙O1的交点A.B在y轴上.设⊙O1的弦AC的延长线交⊙O于F点.连接GF.且AF=2GF(1)求证:C为线段OG的中点,(2)连接AO1.作⊙O1的弦DE.使DE∥AO1.求E点的坐标,(3)如图2.线段EA.EB分别交⊙O于点M.N．问:当点E在上运动时.线段MN的长度是否会� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2000•武汉）已知：如图1，点O₁在x轴的正半轴上，⊙O₁与x轴交于C、D两点，半径为4的⊙O与x轴的负半轴交于G点．⊙O与⊙O₁的交点A、B在y轴上，设⊙O₁的弦AC的延长线交⊙O于F点，连接GF，且AF=2

GF
（1）求证：C为线段OG的中点；
（2）连接AO₁，作⊙O₁的弦DE，使DE∥AO₁，求E点的坐标；
（3）如图2，线段EA、EB（或它们的延长线）分别交⊙O于点M、N．问：当点E在（不含端点A、B）上运动时，线段MN的长度是否会发生变化？试证明你的结论．

【答案】分析：（1）证明：连接AG，易得△AGC∽△AFG，又AF=2

GF，可得⊙O的半径为4，则AG=4

，
GC=2=

OG，即可得结论；
（2）连接OE交AO₁于点H，作EK⊥CD于K，易得Rt△AOO₁≌Rt△CHO₁，又由O₁H∥DE，且CO₁=O₁D，可得ED=2HO₁=6，有三角函数的定义可得EK与OKD的值，进而可得点E的坐标；
（3）当点E在上运动时，MN的长度不变；易得△EMN∽△EBA，进而连接AN，则AN⊥BE，∠ANE=90°，

=cos∠E，MN=AB•cos∠E=8cos∠E，分析可得结论．
解答：

（1）证明：连接AG，
∵OA⊥OG，OA=OG，
∴∠AGC=∠AFG=45°，∠GAC=∠FAG，
∴△AGC∽△AFG，
又AF=2

GF，
∴

，
∵⊙O的半径为4，
∴AG=4

，
∴GC=2=

OG，
即点C为线段OG的中点；

（2）解：连接OE交AO₁于点H，作EK⊥CD于K，
∵AO₁∥ED，DE⊥CE，
∴O₁A⊥CE，
∵OA=4，OC=

OG=2，OA²=OC×OD，
∴OD=8，O₁O=3，
∴Rt△AOO₁≌Rt△CHO₁，
∴O₁H=O₁O=3，
又∵O₁H∥DE，CO₁=O₁D，
∴ED=2HO₁=6，
∴sin∠EDK=sin∠AO₁O=

，cos∠EDK=

，
在Rt△EDK中，EK=ED×sin∠EDK=6×

，
KD=ED×cos∠EDK=6×

，
OK=OD-KD=

，
故，点E的坐标为（

，

）；

（3）解：当点E在上运动时，MN的长度不变；
在△EMN和△EBA中，∵∠E=∠E，∠EMN=∠EBA，
∴△EMN∽△EBA．
∴

，
即MN=

×AB，
连接AN，则AN⊥BE，∠ANE=90°，

=cos∠E，MN=AB×cos∠E=8cos∠E，
当点E在上运动时，∠E的大小不变，8cos∠E是常量，故MN的长度不变．
点评：本题主要考查弦切角定理，相似三角形的判定及平行线的性质，难度较大．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源：2000年全国中考数学试题汇编《圆》（01）（解析版） 题型：选择题

（2000•武汉）已知下列四个命题：
①过原点O的直线的解析式为y=kx（k≠0）；
②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
④在同圆或等圆中，若圆周角不等则所对的弦也不等．
其中不正确的命题是（）
A．只有①②
B．①②③
C．①②④
D．②③④

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源：2000年全国中考数学试题汇编《三角形》（01）（解析版） 题型：选择题