考点:圆的综合题,解一元二次方程-因式分解法,根的判别式,根与系数的关系,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,锐角三角函数的定义,特殊角的三角函数值
专题:压轴题
分析:(1)根据条件利用根与系数的关系就可求出m的值.
(2)连接CM、BC、BD、BE,在EC上取一点E′,使得EE′=EB,连接BE′,如图(1).将m的值代入原方程可求出方程的根,从而得到点A、B的坐标,及OA、OB、AB、AM、CM、OM的长,从而求出∠CMO、∠CMB、∠CEB的度数,然后利用三角函数可求出BE、BK的长,在Rt△COB中运用勾股定理可求出BC长,在Rt△CKB中运用勾股定理可求出CK长.易证△BEE′是等边三角形,从而有BE′=BE,∠EBE′=60°.根据等腰三角形的性质可得KE′=EK.从而求出CE′的长.根据垂径定理可得
=
,
=
,则有∠ABC=∠ABD,BC=BD,从而可证到∠CBE′=∠DBE,进而可得到△CBE′≌△DBE,则CE′=DE,就可解决问题.
(3)过点A作AG⊥DE交ED的延长线于G,过点A作AH⊥EC于H,连接AC、AD、MC;过点Q作QJ⊥EF交EF的延长线于J,过点Q作QI⊥EC于I,连接QC、QF,如图(2).由
=
可得AC=AD,∠AEC=∠AED,从而可证到△AHE≌△AGE,则有EH=EG,AH=AG,进而可得证到Rt△AHC≌Rt△AGD,则有CH=DG,从而得到EC+ED=2EH.在Rt△AHE中,利用三角函数可得到EH=
EA,就可求出
的值;同理可得:EC+EF=2EI,EI=
EQ,从而可求出
的值,就可解决问题.
解答:解:(1)方程x
2-6x+m(2x+m)-7=0整理得:x
2+(2m-6)x+m
2-7=0.
∵方程有两个不相等的实根,
∴△=(2m-6)
2-4×1×(m
2-7)>0.
解得:m<
.
由根与系数的关系可得:x
1+x
2=6-2m,x
1•x
2=m
2-7.
∵x
12+x
22=(x
1+x
2)
2-2x
1•x
2=10,
∴(6-2m)
2-2(m
2-7)=10.
整理得:m
2-12m+20=0.
解得:m
1=2,m
2=10.
∵m<
,∴m=2.
∴m的值为2.
(2)连接CM、BC、BD、BE,在EC上取一点E′,使得EE′=EB,连接BE′,如图(1).
将m=2代入原方程得:x
2-2x-3=0,
解得:x
1=-1,x
2=3.
则点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0).
则OA=1,OB=3,AB=4,AM=BM=CM=2,OM=1.
在Rt△COM中,
∵cos∠CMO=
=
,
∴∠CMO=60°,∠CMB=180°-60°=120°.
∴∠CEB=
∠CMB=60°.
∵BK⊥EC,KE=
,
∴cos∠BEK=
=
,tan∠BEK=
=
.
∴BE=2KE=1,BK=
KE=
.
在Rt△COB中,
BC=
=
=2
.
在Rt△CKB中,
CK=
=
=
.
∵EE′=EB,∠BEE′=60°,
∴△BEE′是等边三角形.
∴BE′=BE,∠EBE′=60°.
∵BK⊥EE′,∴KE′=EK=
.
∴CE′=CK-KE′=
-
=
.
∵AB⊥CD,
∴
=
,
=
.
∴∠ABC=∠ABD,BC=BD.
∴∠ABD=∠ABC=
∠AMC=30°.
∴∠CBD=60°.
∴∠EBE′=60°=∠CBD.
∴∠CBE′=∠DBE.
在△CBE′和△DBE中,
∴△CBE′≌△DBE(SAS).
∴CE′=DE.
∴DE=
.
(3)过点A作AG⊥DE交ED的延长线于G,过点A作AH⊥EC于H,连接AC、AD、MC;
过点Q作QJ⊥EF交EF的延长线于J,过点Q作QI⊥EC于I,连接QC、QF,如图(2).
∵
=
,
∴AC=AD,∠AEC=∠AED.
∵AG⊥DE,AH⊥EC,
∴∠AHE=∠AGE=90°.
在△AHE和△AGE中,
.
∴△AHE≌△AGE(AAS).
∴EH=EG,AH=AG.
在Rt△AHC和Rt△AGD中,
.
∴Rt△AHC≌Rt△AGD(HL).
∴CH=DG.
∴EC+ED=EH+HC+ED=EH+DG+ED=EH+EG=2EH.
在Rt△AHE中,
∵∠AEC=
∠AMC=30°,
∴cos∠AEH=
=
.
∴EH=
EA.
∴EC+ED=
EA.
∴
=
.
同理可得:EC+EF=2EI,EI=
EQ.
∴EC+EF=EQ.
∴
=1.
∴
=.
点评:本题考查了垂径定理、圆周角定理、弧与圆心角及弦的关系、解一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系、锐角三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识,综合性比较强,难度比较大.而构造全等三角形是解决本题的关键.