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9.已知如图,点A(6,0),点B(0,8),点C在y轴上,将△OAB沿AC对折,使点O落在AB边上的点D处.
(1)求直线AB的解析式?
(2)求点C的坐标;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PAB为等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (1)用待定系数法直接求出直线AB解析式;
(2)先求出AB,设出点C的坐标,根据折叠表示出CD,BD,由勾股定理求出OC即得到点C的坐标;
(3)设出点P的坐标,按边分三种情况讨论计算即可.

解答 解:(1)设直线AB解析式为y=kx+8,
∵点A(6,0),在直线AB上,
∴6k+8=0,
∴k=-$\frac{4}{3}$,
∴直线AB解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8,
(2)∵点A(6,0),点B(0,8),
∴OA=6,OB=8,
∴AB=10,
设点C(0,c),
∴OC=c,
∴BC=8-c,
由折叠得,∠ADC-∠BDC=∠AOB=90°,CD=OC=c,AD=OA=6,
∴BD=AB-AD=4,
在Rt△BCD中,CD2+BD2=BC2
即:c2+16=(8-c)2
∴c=3,
∴C(0,3),
(3)∵△PAB为等腰三角形,
设点P(x,0),
①当BP=BA,即:BP=10,
∵BP=$\sqrt{64+{x}^{2}}$,
∴64+x2=100,
∴x=6(舍)或x=-6,
∴P(-6,0),
②当AP=AB,即:AP=10,
∵AP=|6-x|,
∴|6-x|=10,
∴x=-4或x=16,
∴P(-4,0)或(16,0),
③当PA=PB时,
∵PB=$\sqrt{64+{x}^{2}}$,PA=|6-x|,
∴|6-x|=$\sqrt{64+{x}^{2}}$,
∴x=-$\frac{7}{3}$,
∴P(-$\frac{7}{3}$,0),
即:点P的坐标为(-6,0)、(-4,0)、(16,0)、(-$\frac{7}{3}$,0).

点评 此题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法,折叠的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,解本题的关键是求出点C的坐标和分类讨论.

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