Question

如图所示，AE是△FCD的中位线，BD∥AC，A，E，B三点共线，AB=8，FA=FE=6，则下列说法：①BE=4；②∠DEB=∠DBE；③AF=BD；④CD=2AE．正确的结论是（ ）

A．①②④
B．①②③
C．①③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠EAF=∠EBD，然后利用“角角边”证明△AEF和△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BE=4，从而判定①正确；再求出BD=AF判定③正确，然后求出BD=ED，根据等边对等角可得∠DEB=∠DBE，从而判定②正确；根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2AE，判定④正确．
解答：解：∵BD∥AC，
∴∠EAF=∠EBD，
∵AE是△FCD的中位线，
∴EF=ED，
在△AEF和△BED中，，
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴AE=BE=AB=4，故①正确；
BD=AF，故③正确；
又∵FA=FE，
∴BD=ED，
∴∠DEB=∠DBE，故②正确；
∵AE是△FCD的中位线，
∴CD=2AE，故④正确；
所以，正确的结论有①②③④．
故选D．
点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合题，但难度不大．