Question

阅读下面的材料：
如果关于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x₁，x₂，则x1=

-b+ b2-4ac

2a

，x2=

-b- b2-4ac

2a

，
∴x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1•x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

4ac

4a2

=

c

a

；
综合得：若方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x₁，x₂，则有x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

；
请利用这一结论解决问题：
（1）方程x²+bx+c=0的两根为-1和3，求b与c的值；
（2）设方程2x²-3x+1=0的两根为x₁，x₂，求

1

x1

+

1

x2

以及2x₁²+2x₂²的值．

Answer 1

分析：（1）根据两根之和等于-b，两根之积等于c求解；
（2）应把所求的代数式整理为和根与系数的关系有关的式子求解．

解答：解：（1）∵-1+3=-b，（-1）×3=c，
∴b=-2，c=-3；

（2）∵x1+x2=

3

2

，x1•x2=

1

2

，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

3 2

1 2

=3，
2x₁²+2x₂²=2（x₁²+x₂²）=2[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]
=2[(

3

2

)2-2×

1

2

]=2(

9

4

-1)=

9

2

-2=

5

2

．

点评：本题是一个阅读型的题目，解题时关键是读懂题意，理解已知中叙述的方程的解与方程的根之间的关系．解决（2）时，关键是把所求的代数式整理成用两根的和与两根的积表示的形式．