已知抛物线y=-12x2+bx+4上有不同的两点E(k+3.-k2+1)和F(-k-1.-k2+1)．(1)求抛物线的解析式,(2)如图.抛物线y=-12x2+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B.M为AB的中点.∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转.且∠PMQ=45°.MP交y轴于点C.MQ交x轴于点D．设AD的长为m.BC的长为n.求n和m之间的函数关系式,(3)当m.n为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知抛物线y=-

x2+bx+4上有不同的两点E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线y=-

x2+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F？

分析：（1）求抛物线的解析式关键是求出b的值，根据E、F的坐标可发现，E、F关于抛物线的对称轴对称，由此可求出抛物线的对称轴方程，进而可求出b的值及抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可求出A、B的坐标，可得到∠OAB=∠OBA=∠PMQ=45°，可证△BCM∽△AMD，根据相似三角形得到的比例线段求出m、n的函数关系式；
（3）将点F的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出F点的坐标，进而可由待定系数法求出直线MF的解析式，然后根据直线MF与坐标轴的交点坐标求出m、n的值．（需注意的是此题要分MP、MQ过F的两种不同情况分类讨论）

解答：解：（1）抛物线y=-

x2+bx+4的对称轴为x=-

2×(-

)

=b；（1分）
∵抛物线上不同两个点E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）的纵坐标相同，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则b=

(k+3)+(-k-1)

=1，且k≠-2；
∴抛物线的解析式为y=-

x2+x+4；（2分）

（2）抛物线y=-

x2+x+4与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴AB=4

，AM=BM=2

；（3分）
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°；
∴∠BCM=∠AMD，
∴△BCM∽△AMD；（4分）
∴

，即

，n=

；
故n和m之间的函数关系式为n=

（m＞0）；（5分）

（3）∵F（-k-1，-k²+1）在y=-

x2+x+4上，
∴将F代入函数解析式得：-

(-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1，
化简得，k²-4k+3=0，∴k₁=1，k₂=3；
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8）；（6分）
①MF过M（2，2）和F₁（-2，0），设MF为y=kx+b，
则

2k+b=2

-2k+b=0

，解得

b=1

；
∴直线MF的解析式为y=

x+1；
直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1）；
若MP过点F（-2，0），则n₁=4-1=3，m₁=

；
若MQ过点F（-2，0），则m₂=4-（-2）=6，n₂=

；（7分）
②MF过M（2，2）和F₂（-4，-8），设MF为y=kx+b，
则

2k+b=2

-4k+b=-8

，解得

b=-

；
∴直线MF的解析式为y=

；
直线MF与x轴交点为（

，0），与y轴交点为（0，-

）；
若MP过点F（-4，-8），则n₃=4-（-

）=

，m₃=

；
若MQ过点F（-4，-8），则m₄=4-

，n₄=

；（8分）
故当

m1=

n1=3

，

m2=6

n2=

，

m3=

n3=

或

m4=

n4=

时，∠PMQ的边过点F．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、函数图象与坐标轴交点坐标的求法等知识，需注意的是（3）题中，MP、MQ都有可能经过F点，要分类讨论，以免漏解．

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