Question

如图，已知四边形ABCD、DEFG均为正方形，
（1）求证：AE=CG，且AE⊥CG；
（2）若正方形ABCD、DEFG的边长分别是3和2，∠ADG=30°，求四边形ACEG的面积．

Answer 1

分析：（1）根据正方的性质和全等三角形的判定得出△CDG≌△ADE，便可轻松得出结论；
（2）将S_△ACEG分解为S_△ADG、S_△ACD、S_△GDE、S_△CDE的面积来求．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD、GDEF为正方形，
∴CD=AD，GD=DE，
∠CDA=∠EDG=90°，
∴∠CDA+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
即：∠CDG=∠ADE，
∴在△CDG和△ADE中，

CD=AD ∠CDG=∠ADE GD=DE

，
∴△CDG≌△ADE，（3分）
∴∠1=∠4，AE=CG，又∠2=∠3，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠GOE=90°，CG⊥AE．（5分）

（2）解：S_△ACEG=S_△ADG+S_△ACD+S_△GDE+S_△CDE，
过G作GH⊥AD于H，过E作EM⊥CD的延长线于M．
则在Rt△GHD中，GH=DG•sin30°=2×

1

2

=1，
∴S△ADG=

1

2

AD•GH=

1

2

×3×1，
S△ACD=

1

2

CD•AD=

1

2

×3×3=

9

2

，
S△GDE=

1

2

DG•DE=

1

2

×2×2=2，
∵CM⊥AD，∠ADG=30°，
∴∠GDM=60°，又GD⊥DE，
∴在Rt△MDE中，EM=ED•sin30°=2×

1

2

=1，
S△CDE=

1

2

CD•EM=

1

2

×3×1=

3

2

．
S_△ACEG=S_△ADG+S_△ACD+S_△GDE+S_△CDE=9.5，（10分）
法2：设AE、CG相交于点O，过G作GH⊥CD交其延长线于H．
S_{四边形ACEG}=S_△ACG+S_△CEG
=

1

2

CG•AO+

1

2

CG•EO
=

1

2

CG(AO+EO)=

1

2

CG•AE
=

1

2

CG2．
∵∠ADH=90°，∠ADG=30°，
∴∠GDH=60°，又GH⊥DH，
∴在Rt△GDH中，∠DGH=30°，
则DH=

1

2

DG=1，GH=

3

，
∴CH=4．
Rt△CHG中，CG2=CH2+GH2=42+

3

2=19，
∴S四边形ACEG=

19

2

．

点评：此题考查了全等三角形的性质和正方形的性质，解题的关键是观察出△CDG和△ADE的两个对应边分别为正方形ABCD、GDEF的边，从而证出两个三角形全等．