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如图1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.

(1)求抛物线的解析式;
(2)连接OA,AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)由题意可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,再根据抛物线过原点可求出a的值,故可得出抛物线的解析式;
(2)由抛物线的对称性可知:AO=AB,∠AOB=∠ABO,由△BOP与△AOB相似可知∠POB=∠BOA=∠BPO,设OP交抛物线的对称轴于C点,求出C点坐标及直线OP的解析式,把抛物线的解析式与直线OP的解析式组成方程组即可求出P点坐标,过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中利用勾股定理可求出BP的长,由PB≠OB可知∴△PBO与△BAO不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.
解答:解:(1)由题意可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1.
∵抛物线过原点,
∴0=a(0-2)2+1,
a=-
1
4

故抛物线的解析式为y=-
1
4
(x-2)2+1
,即y=-
1
4
x2+x
. 

(2)如图,由抛物线的对称性可知:AO=AB,∠AOB=∠ABO.
∵△BOP与△AOB相似,
∴∠POB=∠BOA=∠BPO.
设OP交抛物线的对称轴于C点,
∴C(2,-1),
∴直线OP的解析式为y=-
1
2
x,
∵抛物线与直线OP有交点,
∴-
1
2
x=-
1
4
x2+x,
解得x1=0,x2=6.
∴P(6,-3).
过P作PE⊥x轴,
在Rt△BEP中,
∵BE=2,PE=3,
PB=
22+32
=
13
≠4

∴PB≠OB.
∴∠BOP≠∠BPO.
∴△PBO与△BAO不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.
故在该抛物线上不存在点P,使得△OBP与△OAB相似.
点评:本题考查的是二次函数综合题,此题涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、勾股定理等相关知识,难度适中.
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标;
(3)连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,点D、E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8:
(1)此抛物线的解析式;
(2)如图2,若点P为所求抛物线上的一动点,试判断以点P为圆心,PB为半径的圆与x轴的位置关系,并说明理由.
(3)如图2,设点P在抛物线上且与点A不重合,直线PB与抛物线的另一个交点为Q,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为N、M,连接PO、QO.求证:△QMO∽△PNO.
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,已知抛物线的顶点为A(O,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)如图2,若P点为抛物线上不同于A的一点,连接PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为S、R.
①求证:PB=PS;
②判断△SBR的形状.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2009•黔南州)如图1,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于点B,且其面积为8,F点的坐标为(2,2).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)如图2,若P点为抛物线上不同于A的一点,连结PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为S、R.
①求证:PB=PS;
②试探索在线段SR上是否存在点M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似?若存在,请找出M点的位置;若不存在请说明理由.

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