Question

9．如图，$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$，AC平分∠DAB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若$\frac{AC}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）连接OA并延长交⊙O于点E，连接EC，由于AE是直径，所以∠ECA=90°，由圆周角定理可知：∠D=∠E，从而可证明∠EAB=90°．
（2）连接OC，设AC=$\sqrt{5}$，AD=4，由垂径定理可知：OC⊥AD，由于勾股定理即可求出CF的长度，再设半径为r，由勾股定理即可求出r的值，易证∠AOC=∠BAD，过点C作CG⊥AE于点G，求出CG的长度后，从而可求出sin∠BAD的值．

解答 解：（1）连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ECA=90°，
∴∠E+∠EAC=90°，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$，
∴∠D=∠DAC=∠E，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠E=∠DAC=∠CAB，
∴∠EAB=∠EAD+∠DAC+∠CAB
=∠EAC+∠E=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）连接OC交AD于点F，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$，
∴由垂径定理可知：OC⊥AD，
设AD=4，AC=$\sqrt{5}$，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴由勾股定理可知：CF=1，
设⊙O的半径为r，
∴OA=OC=r，
∴OF=r-1，
∴由勾股定理可知：r²=（r-1）²+2²，
∴r=$\frac{5}{2}$，
∴AE=2r=5，
∴由勾股定理可知：CE=3
过点C作CG⊥AE于点G，
∴$\frac{1}{2}$AE•CG=$\frac{1}{2}$AC•CE，
∴CG=$\frac{12}{5}$
由圆周角定理可知：∠AOC=2∠E，
∵∠BAD=2∠DAC=2∠E，
∴∠AOC=∠BAD，
∴sin∠BAD=sin∠AOC=$\frac{CG}{OC}$=$\frac{24}{25}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，垂径定理，勾股定理，切线的判定等性质，综合程度较高，属于中等题型．