Question

如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心，OE长为半径的圆弧与DC的交点，点P是

EF

上的动点，连接OP并延长交直线BC于K．
（1）当P从E点沿

EF

运动到F时，K运动了多少单位长度？
（2）过点P作

EF

所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别交于M、G，
①当K与B重合时，BG：BM=？
②在P运动过程中，是否存在BG：BM=3的情况？若存在，求出BK的值；若不存在说明理由．

Answer 1

（1）连接OE、OF，并延长OE、OF分别交直线BC于N、Q，
当P从点E运动到点F时，点K从点N运动到了点Q；
∵O、E分别为AD、AB的中点，
∴OA=AE=BE=1，
又∵∠A=∠EBN=90°，∠AEO=∠NEB，
∴△OAE≌△NBE，得OA=BN=1，
同理可得CQ=1；
故NQ=NB+BC+CQ=1+2+1=4，即点K运动了4个单位长度．

（2）①当K、B重合时，
∵MG与弧EF所在的圆相切，且切点为P，
∴OB⊥MG，
∴∠BMP+∠OBA=∠BMP+∠BGM=90°，
∴∠OBA=∠BGM，
又∵∠MBG=∠OAB=90°，
∴△OAB∽△MBG，得：

BG

BM

=

BA

OA

，由于BA=2OA，则BG：BM=2．

②存在BG：BM=3的情况，理由如下：
假设存在符合条件的P点，使得BG：BM=3，过K作KH⊥OA于H，
则四边形ABKH为矩形，有KH=AB=2；
∵MG与弧EF相切于点P，
∴OK⊥MG，且垂足为P，
∴∠1+∠2=90°；
又∵∠G+∠2=90°，则∠1=∠G；
∵∠OHK=∠GBM=90°，
∴△OHK∽△MBG，
∴

OH

HK

=

BM

BG

=

1

3

，
∴OH=

2

3

，AH=BK=

1

3

；
∴存在符合题意的K点，使得BG：BM=3；
同理可得：在线段BC、CD以及CB的延长线上，存在这样的点K′、M″、G′，
使得CK′=

1

3

，CG′：CM″=3；
连接G′M″交AB于M′，则BG′：BM′=CG′：CM″=3；
此时BK′=BC-K′C=2-

1

3

=

5

3

，即BK的值为

1

3

或

5

3

．