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    19．正方形ABCD边长为4cm，点E，M分别是线段AC，CD上的动点，连接DE并延长，交正方形ABCD的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
    （1）如图1，若点M与点C重合，求证：DF=MN；
    （2）如图2，若点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以$\sqrt{2}$cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
    ①当点F是边AB的中点时，求t的值；
    ②连结FM，FN，当t为何值时△MNF是等腰三角形（直接写出t值）．

    分析 （1）先判定△ADF≌△DNC，即可得到结论；
    （2）①当点F是AB中点时，由比例式$\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{CD}$，计算即可，
    ②先表示出AF，DN=CM=t，AN=DM=4-t，再分三种情况计算．

    解答 证明：（1）∵∠DNC+ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
    ∴∠ADF=∠DCN，
    在△ADF和△DNC中
    $\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠CDN}\\{AD=CD}\\{∠ADF=∠DCN}\end{array}\right.$，
    ∴△ADF≌△DNC，
    ∴DF=MN；
    （2）①当点F是AB中点时，
    ∴AF=$\frac{1}{2}$AB=2，
    由题意可知，CM=t，AE=$\sqrt{2}$t，CE=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
    ∵AB∥CD，
    ∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{CD}$，
    ∴$\frac{\sqrt{2}t}{4\sqrt{2}-\sqrt{2}t}=\frac{2}{4}$，
    ∴t=$\frac{4}{3}$，
    ②∵△AEF∽△CED，
    ∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AE}{CE}$，
    ∴$\frac{AF}{4}=\frac{\sqrt{2}t}{4\sqrt{2}-\sqrt{2}t}$，
    ∴AF=$\frac{4t}{4-t}$，
    ∵△MND∽△DFA，
    ∴$\frac{ND}{AF}=\frac{DM}{AD}$，
    ∴$\frac{ND}{\frac{4t}{4-t}}=\frac{4-t}{4}$，
    ∴DN=CM=t，AN=DM=4-t，
    ∵△MNF是等腰三角形，
    Ⅰ、当FN=FM，
    ∵MN⊥DF，
    ∴FD是MN的垂直平分线，
    ∴DN=DM，
    ∴t=4-t，
    ∴t=2（此时点F与点B重合），
    Ⅱ、当FM=MN时，点F在BC上，如图1，

    ∵∠NDM=∠MCF，ND=MC，FM=MN，
    ∴△MFC≌△NMD，
    ∴FC=DM=4-t，
    ∵△NDM∽△DCF，
    ∴$\frac{DN}{DM}=\frac{DC}{FC}$，
    ∴$\frac{t}{4-t}=\frac{4}{4-t}$，
    ∴t=4（此时点F，E与点C重合，点M与点D重合，如果点N和点A重合时，符合题意，点N不和点A重合时，不符合题意，所以，舍去），
    Ⅲ、当FN=MN时，如图2，

    ∵∠FAN=∠NDM，AN=DM，FN=MN，
    ∴△FAN≌△NDM，
    ∴AF=DN，
    ∴$\frac{4t}{4-t}$=t
    ∴t=0（不符合题意），
    即：当t=2时，△MNF是等腰三角形．

    点评 此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的判定和性质，解本题的关键是用运动时间表示线段．

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