Question

5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC．BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：OE=OF．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，求出∠AEB=∠CFD=90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFD}\\{∠ABE=∠CDF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵OB=OD，
∴OB-BE=OD-DF，
∴OE=OF．

点评 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；证明△ABE≌△CDF是解决问题的关键．