Question

16．如图所示，在正方形ABCD中，AB=6，点E为边BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，点O为对角线BD的中点，连接OF交CD于点G，连接BF、BG，则△BFG的面积是2.4．

Answer 1

分析 先延长GO交AB于H，过F作PQ⊥BC，交BC于Q，交AD于P，则∠FQE=∠APF=90°，根据△DOG≌△BOH，可得DG=BH，再根据△APH∽△FQE，可得PF=2EQ，设PF=x，则EQ=$\frac{1}{2}$x，FQ=PQ-PF=6-x，根据Rt△FEQ中，EQ²+FQ²=EF²，可得方程（$\frac{1}{2}$x）²+（6-x）²=3²，求得PF=3.6，进而得到MF的长，根据MF∥DG，即可得到$\frac{MF}{DG}$=$\frac{OM}{OD}$，即$\frac{2.4}{DG}$=$\frac{3}{5}$，解得DG=4，进而得出BH=4，CG=6-4=2，最后根据S_△BFG=S_梯形BCGH-S_△BFH-S_△BCG进行计算即可．

解答 解：如图所示，延长GO交AB于H，过F作PQ⊥BC，交BC于Q，交AD于P，交BD于M，则∠FQE=∠APF=90°，
由O是BD的中点，可得DO=BO，
由DG∥BH，可得∠ODG=∠OBH，而∠DOG=∠BOH，
∴△DOG≌△BOH，
∴DG=BH，
由折叠可得，∠AFE=∠ABE=90°，AF=AB=6，FE=BE=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴∠PAF+∠AFP=∠QFE+∠AFP=90°，
∴∠PAF=∠QFE，
∴△APH∽△FQE，
∴$\frac{PF}{QE}$=$\frac{AF}{EF}$=2，即PF=2EQ，
设PF=x，则EQ=$\frac{1}{2}$x，FQ=PQ-PF=6-x，
∵Rt△FEQ中，EQ²+FQ²=EF²，
∴（$\frac{1}{2}$x）²+（6-x）²=3²，
解得x₁=3.6，或x₂=6（舍去）
∴PF=3.6，FQ=6-3.6=2.4，
∴EQ=1.8，BQ=3+1.8=4.8，
∴PD=CQ=6-4.8=1.2，
∵△PDM和△ABD都是等腰直角三角形，
∴DM=$\sqrt{2}$PD=$\frac{6}{5}\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{2}$AB=6$\sqrt{2}$，PM=PD=1.2，
∴OD=3$\sqrt{2}$，OM=3$\sqrt{2}$-$\frac{6}{5}\sqrt{2}$=$\frac{9}{5}\sqrt{2}$，MF=PQ-PM-QF=6-1.2-2.4=2.4，
∵MF∥DG，
∴$\frac{MF}{DG}$=$\frac{OM}{OD}$，即$\frac{2.4}{DG}$=$\frac{\frac{9}{5}\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得DG=4，
∴BH=4，CG=6-4=2，
∴S_△BFG=S_梯形BCGH-S_△BFH-S_△BCG
=$\frac{1}{2}$（2+4）×6-$\frac{1}{2}$×4×4.8-$\frac{1}{2}$×2×6
=18-9.6-6
=2.4，
故答案为：2.4

点评 本题以折叠问题为背景，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及相似三角形，依据全等三角形对应边相等，相似三角形对应边成比例列式计算，依据图形面积的和差关系得出结论．解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．