Question

3．如图：梯形ABCD是一座水库大坝的横截面，其中AD∥BC，∠C=30°，∠B=45°，坝顶宽AD=8米，迎水坡AB=24米．（计算结果保留根号）
（1）求坝底BC的宽度．
（2）求大坝横截面ABCD的面积．
（3）若大坝长400米，求修建这样的大坝共需多少立方米沙石混泥土．

Answer 1

分析 （1）过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，利用三角函数分别求得CF，EB的长，再根据矩形的性质得到AD=EF，从而得出BC的长；
（2）根据梯形的面积公式即可得到结论；
（3）根据题意即可得到结论．

解答 解：（1）过点A，D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
如图，在Rt△CDF中，∠B=45°，AE=BE．
∵AB=24m，
∴AE=BE=12$\sqrt{2}$m，
在Rt△BEA中
∵∠C=30°．
∴CD=2DF．
∵AE=DF=12$\sqrt{2}$m，
∴CF=12$\sqrt{6}$m．
在矩形ADFE中，FE=AD=8m．
∴BC=BE+FE+FC
=12$\sqrt{2}$+8+12$\sqrt{6}$m；
（2）横截面的面积=$\frac{1}{2}$（12$\sqrt{2}$+8+12$\sqrt{6}$+8）×12$\sqrt{2}$=（144+96$\sqrt{2}$+144$\sqrt{3}$）m²；
（3）400×（144+96$\sqrt{2}$+144$\sqrt{3}$）=（5700+38400$\sqrt{2}$+5700$\sqrt{3}$）m³．
答：修建这样的大坝共需（144+96$\sqrt{2}$+144$\sqrt{3}$）立方米沙石混泥土．

点评 本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及解直角三角形的综合运用．