Question

16．如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴交于点A（0，2$\sqrt{3}$），B（2，0），与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点C和点D（-1，a）．
（1）求一次函数y=kx+b和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的解析式；
（2）利用图象，直接写出关于x的不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解；
（3）连接OC，OD，求△COD的面积．

Answer 1

分析 （1）把A，B的坐标代入一次函数y=kx+b中求出一次函数的解析式，再把D（-1，a）代入一次函数y=kx+b中可以求出a的值，然后利用待定系数法就可以反比例函数的解析式；
（2）根据C、D的横坐标结合图象即可得出答案．
（3）利用三角形的面积公式即可直接求解．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象与坐标轴交于点A（0，2$\sqrt{3}$），B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=2k+b}\\{2\sqrt{3}=b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∵一次函数与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点C和点D（-1，a），
∴a=3$\sqrt{3}$，
∴m=-1×3$\sqrt{3}$=-3$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{3\sqrt{3}}{x}$；

（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3\sqrt{3}}{x}}\\{y=-\sqrt{3}+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴C（3，-$\sqrt{3}$），
根据图象知：不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解为：-1＜x＜0，或x＞3；
（3）∵直线CD与y轴的交点坐标为：（0，2$\sqrt{3}$），
∴△COD的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用以及三角形的面积公式，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．