Question

10．正方形ABCD的边长为3，延长CB到点E，使S_△ABE=3，过点B作BF⊥AE，垂足为F，O是对角线AC，BD的交点，连接OF，则OF的长为$\frac{15\sqrt{26}}{26}$．

Answer 1

分析 先根据三角形的面积公式求出BE的长，由条件可证得△ABF∽△BFE∽△AEB，且可求得AE的长度，利用对应线段的比相等可求得AF和EF，进一步可得到$\frac{AO}{AE}$=$\frac{AF}{AC}$，且∠CAE=∠FAO，可证得△AOF∽△AEC，利用相似三角形的性质可求得OF的长度．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为3，S_△ABE=3，
∴BE=2．
∵AB=3，BE=2，
∴EC=5，AE=$\sqrt{13}$，
∵∠ABE=90°，BF⊥AE，
∴△ABF∽△BFE∽△AEB，
∴AB²=AF×AE，BE²=EF×AE，
∴AF=$\frac{9\sqrt{13}}{13}$，EF=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，
∵AB=3，CD=3，
∴AC=3$\sqrt{2}$，
∴AO=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{AO}{AE}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{26}}{26}$，$\frac{AF}{AC}$=$\frac{9\sqrt{13}}{13}×\frac{1}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{26}}{26}$，
∴$\frac{AO}{AE}$=$\frac{AF}{AC}$，且∠CAE=∠FAO
∴△AOF∽△AEC，
∴$\frac{OF}{CE}$=$\frac{AO}{AE}$=$\frac{3\sqrt{26}}{26}$，
∴OF=$\frac{3\sqrt{26}}{26}$CE=$\frac{15\sqrt{26}}{26}$．
故答案为：$\frac{15\sqrt{26}}{26}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．