Question

【题目】如图，在 ABC 中，BD 平分ABC 交 AC 于 D ，EF 垂直平分 BD ，分别交 AB, BC, BD于 E, F , G ，连接 DE, DF 。

（1）求证：四边形 BEDF 为菱形；

（2）若ABC 30, C 45, DE 4 ，求CF 的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先根据垂直平分线的性质得：DE=BE，DF=FB，证明△BEG≌△BFG（ASA），根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得：四边形DFBE是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边是菱形可得结论；

（2）过D作DH⊥CF于H．在Rt△DFH中，求出DH、FH，在Rt△DHC中，求出CH即可解决问题；

（1）证明：∵EF是BD的垂直平分线，
∴DE=EB，DF=BF，∠EGB=∠FGB=90°，DG=BG
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBG=∠FBG，
∵BG=BG，
∴△BEG≌△BFG（ASA），
∴GE=GF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵DE=BE，
∴四边形DFBE是菱形；

（2）解：过D作DH⊥CF于H．

∵四边形BFDE是菱形，
∴DF∥AB，DE=DF=4．
在Rt△DFH中，∠DFC=∠ABC=30°，

在Rt△CDH中，∠C=45°，
∴DH=HC=2，