Question

4．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D为AH上的一点，且DH=HC，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．
（1）请补全图形；
（2）直接写出BD与AC的数量关系和位置关系；
（3）求证：∠BEH=45°．

Answer 1

分析 （1）根据题意直接补全图形；
（2）先判断出△ABH为等腰直角三角形，进而得出△AHC≌△BHD，最后用对顶角和等量代换即可得出∠ADE+∠DAE=90°，结论得证；
（3）先利用同角或等角的余角相等得出结论即可判断出△AHE≌△BHF，即可得出EH=FH，结论得证．

解答 解：（1）补全图形如图1所示；

（2）BD=AC；BD⊥AC； 
理由：∵AH⊥BC于点H，∠ABC=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AH=BH，∠BAH=45°，
在△AHC和△BHD中，$\left\{\begin{array}{l}AH=BH\\∠AHC=∠BHD={90°}\\ HC=HD\end{array}\right.$
∴△AHC≌△BHD
∴AC=BD，∠ACH=∠BDH，
∵∠BDH=∠ADE，
∴∠ACH=∠ADE，
∵∠ACH+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠AEB=90°，
∴BD⊥AC；

（3）∵△AHC≌△BHD，
∴∠1=∠2
如图2，过点H作HF⊥HE交BE于点F，
∴∠FHE=90°
即∠4+∠5=90°
又∵∠3+∠5=∠AHB=90°
∴∠3=∠4，
在△AHE和△BHF中，$\left\{\begin{array}{l}∠1=∠2\\ AH=BH\\∠4=∠3\end{array}\right.$
∴△AHE≌△BHF
∴EH=FH，
∵∠FHE=90°
∴△FHE是等腰直角三角形
∴∠BEH=45°，

点评 此题是三角形的全等的性质和判定，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等，构造出直角三角形EFH是解本题的关键，也是难点，注：出现直角，要联想到互余．