Question

如图1、图2，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．
（1）如图1，EF与斜边BC不相交时，直接写出EF、BE、CF三者间有何关系，不需证明．
（2）如图2，EF与斜边BC相交时，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明．如不成立，请给出新的结论并证明．
（3）如图3，直线EF与AB、AC两边相交，分别过A、B、C三点作EF的垂线，垂足分别为D、E、F，请直接写出EF、BE、CF、AD之间的关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图1，由∠BAC=90°就可以得出∠BAE+∠CAF=90°，就可以求出∠BAE=∠ACF就可以得出△ABE≌△CAF就可以得出BE=AF，AE=CF而得出结论；
（2）如图2，通过得出∠BAE=∠ACF就可以得出△ABE≌△CAF就可以得出BE=AF，AE=CF而得出结论EF=CF-BE；
（3）如图3，过点A作l∥EF，延长BE，CF分别交l于点M和N，就可以得出△ABM≌△CAN，就有BM=AN，AM=CN，就可以得出EF=BE+CF+2AD．

解答：解：（1）EF=CF+BE
理由：如图1，∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，

∠AEB=∠CFA ∠BAE=∠ACF AB=CA

，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF．
∵EF=AE+AF，
∴EF=CF+BE；
（2）EF=CF-BE
理由：如图2，∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，

∠AEB=∠CFA ∠BAE=∠ACF AB=CA

，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF．
∵EF=AE-AF，
∴EF=CF-BE；
（3）EF=C+BE+2AD．
理由：如图3，过点A作l∥EF，延长BE，CF分别交l于点M和N，
∴∠BED=∠BMA，∠CFD=∠CNA．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAM+∠CAN=90°．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠BED=∠MED=∠NFD=∠CFD=90°，
∴∠BMA=∠CNA=∠MED=∠NFD=90°．
∴∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BAM=∠ACN．
在△ABM和△CAN中，

∠AMB=∠CNA ∠BAM=∠ACN AB=CA

，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴BM=AN，AM=CN．
∵∠BMA=∠CNA=∠MED=∠NFD=90°，
∴四边形EMNF是矩形，
∴EF=MN，EM=FN．
∵AD⊥NF，
∴∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠CNA=∠NFD=90°，
∴四边形ADFN是矩形，
∴AD=NF，
∴AD=NF=EM．
∵EF=AM+AN，
∴EF=CN+BM，
∴EF=CF+FN+BE+EM，
∴EF=CF+AD+BE+AD，
∴EF=C+BE+2AD．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定就性质的运用，平行线的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．