Question

如图1，已知直线y=kx与抛物线y=-

4

27

x2+

22

3

交于点A（3，6）．
（1）求k的值；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

Answer 1

分析：（1）将点A的坐标代入到正比例函数的解析式后利用待定系数法求出直线y=kx的解析式；
（2）如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立；
（3）延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R．由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．借助得到的二次函数图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个．这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题．
另外，在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度．

解答：解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2．…（3分）；
（2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，…（4分）；
理由如下：
如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2．…（6分）；
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴∠MQH=∠GQN．
又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN．∴

QM

QN

=

QH

QG

=

QH

OH

=tan∠AOM=2．
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得

QM

QN

=2．…（8分）；
∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值．
（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R．
∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF．
∴OC=AC=

1

2

OA=

5

2

5

．
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC．∴

OF

OC

=

AO

OR

=

3 5

3

=

5

．∴OF=

5

2

5

×

5

=

15

2

．
∴点F（

15

2

，0）．…（9分）；
设点B（x，-

4

27

x2+

22

3

x），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF．
∴

BK

FR

=

AK

AR

，即

x-3

7.5-3

=

6-(- 4 27 x2+ 22 3 x)

6

．
解得x₁=6，x₂=3（舍去）．∴点B（6，2）．…（10分）；
∴BK=6-3=3，AK=6-2=4．∴AB=5．
在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB．
∴∠ABE=∠DEO．
∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED．
设OE=x，则AE=3

5

-x （0＜x＜3

5

），
由△ABE∽△OED得

AE

AB

=

OD

OE

，即

3 5 -x

5

=

m

x

．
∴m=

1

5

x(3

5

-x)=-

1

5

x2+

3 5

5

x=-

1

5

(x-

3

2

5

)2+

9

4

(0＜x＜3

5

)．
∴顶点为(x-

3

2

5

，\user1 

9

4

)
．如图3，当m=

9

4

时，OE=x=

3

2

5

，此时E点有1个；
当0＜m＜

9

4

时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．…（14分）；
∴当m=

9

4

时，E点只有1个，当0＜m＜

9

4

时，E点有2个．

点评：本题是中考压轴题，难度较大，解题核心是相似三角形与抛物线的相关知识，另外也考查了一次函数、勾股定理等重要知识点．解题的难点在于转化思想的运用，本题第（2），（3）问都涉及到了问题的转化，要求同学们能够将所求解的问题转化为常见的数学问题，利用自己所熟悉的数学知识去解决问题，否则解题时将不知道从何下手而导致失分．