Question

17、已知n是正整数，则奇数可以用代数式2n+1来表示．
（1）分解因式：（2n+1）²-1；
（2）我们把所有”奇数的平方减去1”所得的数叫”白银数”，则所有”白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据平方差公式进行因式分解；
（2）由（1）可知，“白银数”为4n（n+1），观察式子，n（n+1）中，n、n+1必有一个是偶数，因此这个白银数必是8的倍数，由此求得白银数的最大公约数．

解答：解：（1）（2n+1）²-1=（2n+1+1）（2n+1-1）=4n（n+1）；（3分）
（2）所有”白银数”的最大公约数是8；（1分）
理由：∵n正整数，则n与n+1必有一个偶数，∴n（n+1）必是2的倍数，则4n（n+1）必是8的倍数，
∴所有”白银数”的最大公约数是8．（2分）

点评：此题主要考查了因式分解以及奇数、偶数的表示方法，正确判断出n（n+1）是2的倍数，是解决此题的关键．