以四边形ABCD的边AB.AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE.连接EB.FD.交点为G．(1)当四边形ABCD为正方形时.EB和FD的数量关系是EB=FDEB=FD,(2)当四边形ABCD为矩形时.EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明,(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中.∠EGD是否发生变化?如果改变.请说明理由,如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．

（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是

EB=FD

；
（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；
（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．

分析：（1）EB=FD，利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△AFD≌△ABE，由全等三角形的性质即可得到EB=FD；
（2）当四边形ABCD为矩形时，EB和FD仍旧相等，证明的思路同（1）；
（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是不发生变化，是一定值为60°．

解答：（1）EB=FD，
理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD=60°，
∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°，
∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°，
∴∠FAD=∠BAE，
在△AFD和△ABE中，

AF=AE

∠FAD=∠BAE

AD=AB

，
∴△AFD≌△ABE，
∴EB=FD；
（2）EB=FD．
证：∵△AFB为等边三角形
∴AF=AB，∠FAB=60°
∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE，∠EAD=60°
∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD，
即∠FAD=∠BAE
∴△FAD≌△BAE
∴EB=FD；
（3）解：∵△ADE为等边三角形，
∴∠AED=∠EDA=60°
∵△FAD≌△BAE，
∴∠AEB=∠ADF，
设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°
于是有∠BED为（60-x）°，∠EDF为（60+x）°，
∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF
=180°-（60-x）°-（60+x）°=60°．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及矩形的性质，题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握．

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以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

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（本题10分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点得四边形EFGH．如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；
【小题1】（1）如图2，当四边形ABCD为矩形时，则四边形EFGH的形状是；（1分）
【小题2】（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=