Question

如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于点E，连接DE、BE、BD、AE．
（1）求证：∠ACO=∠BED；
（2）连接CD，证明：直线CD是⊙O的切线；
（3）如果DE∥AB，AB=2cm，求四边形AEDB的面积．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，根据同角的余角相等，可得∠ACO=∠BAD，又由圆周角定理，可得∠BED=∠BAD，则可证得∠ACO=∠BED；
（2）首先连接OD，易证得△OAC≌△ODC，则可得∠ODC=∠OAC=90°，即可得直线CD是⊙O的切线；
（3）易证得

BD

=

DE

=

AE

，∠DBE=∠ABE=∠BAD，AE=BD=DE，即可求得∠BAD=30°，则可求得BD，AD的长，继而可求得梯形AEDB的高，则可求得四边形AEDB的面积．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于点A，
∴∠CAO=90°，
∴∠ACO+∠AOC=90°，
又∵OC⊥AD，
∴∠OFA=90°，
∴∠AOC+∠BAD=90°，
∴∠ACO=∠BAD，
又∵∠BED=∠BAD，
∴∠ACO=∠BED；

（2）连接CD、OD，
∵OC⊥AD，
∴

AE

=

DE

，
∴∠DOC=∠AOC，
在△OAC和△ODC中，

OC=OC ∠AOC=∠DOC OA=OD

，
∴△OAC≌△ODC（SAS），
∴∠ODC=∠OAC，
又∵CA切⊙O于点A，
∴∠OAC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（3）∵OC⊥AD，
∴

AE

=

DE

，
又∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠EDA，
∴

BD

=

AE

，
∴

BD

=

DE

=

AE

，
∴∠DBE=∠ABE=∠BAD，AE=BD=DE，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=

1

2

AB=1cm，DE=1cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=

3

，
过点D作DH⊥AB于H，
∵∠HAD=30°，
∴DH=

1

2

AD=

3

2

，
∴四边形AEDB的面积为：

1

2

（DE+AB）•DH

1

2

(DE+AB)•DH=

1

2

×（1+2）×

3

2

=

3 3

4

（cm²）．

点评：此题考查了切线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、弧与弦的关系以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．