Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B．∠MEN的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F，连接AF．
（1）设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）若△AEF为等腰三角形，求出BE的长．

Answer 1

分析：（1）由等腰梯形的性质得，∠B=∠C，由外角的性质得，∠BAE=∠FEC，则△ABE∽△FEC，则

AB

BE

=

EC

FC

即

5

x

=

8-x

5-y

，
从而得出y=

1

5

(x2-8x+25)（0≤x≤8）；
（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H，则cos∠B=

3

5

，
然后分三种情况求解即可，
①若AE=AF，过点A作AG⊥EF，则

EC

AB

=

6

5

，即

8-x

5

=

6

5

，解得x=2，
②若AF=FE，同理有

5

8-x

=

6

5

，解得x=

23

6

，
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3；再根据x的取值范围，得出答案．

解答：解：（1）∵AB=DC=5，∴∠B=∠C
而∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC
∵∠AEF=∠B，∴∠BAE=∠FEC
∴△ABE∽△ECF
∴

AB

BE

=

EC

FC

即

5

x

=

8-x

5-y

∴y=

1

5

(x2-8x+25)（0≤x≤8）；

（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H可推得cos∠B=

3

5

，
①若AE=AF，则有cos∠AEF=

EG

AE

=cos∠B=

3

5

，即

EF

AE

=

6

5

∵△ABE∽△ECF，∴

EC

AB

=

6

5

，即

8-x

5

=

6

5

，解得x=2，
②若AF=FE，同理有

5

8-x

=

6

5

，解得x=

23

6

，
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3；
∵0＜2，3，

23

6

＜8，
∴BE的长为2，3，

23

6

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质．